Derivadas

Capítulo 3

Derivadas

Seja Q a quantidade vendida de um produto em função do tempo, isto é, Q = f(t). Ataxa de variação média dessa função representa uma medida de rapidez com que ela varia, emmédia, entre dois valores t

1

e t

2

, considerada da mesma forma que a velocidade média de umcarro mede a rapidez média com que ele se move entre dois instantes fixados.Em muitos problemas deseja-se obter a rapidez com que a quantidade vendida varia,em um dado instante t

1

, que corresponde ao conceito de velocidade de um carro em uminstante fixado.Para se resolver problemas como este, é necessário o conceito de derivada, que serádesenvolvido neste capítulo.

3.1 Taxa de variação média

Uma partícula se movimenta de acordo com a equação horária s = f(t) = –50 + 4t,com a posição média em metros e o tempo em segundos, no intervalo de tempo de t

1

até t

2

, t

1

< t

2

. O aumento de deslocamento é:

s

∆

= f(t

2

) – f(t

1

)Para se ter o aumento por unidade de tempo, divide-se por

t

∆

= t

2

– t

1

:

1212

)()(

t t t f t f t s

−−=∆∆

Este quociente é chamado

taxa de variação média

de f(t) entre t

1

e t

2

,

ou

velocidademédia

no intervalo entre t

1

e t

2

.A idéia de taxa de variação média da distância em relação ao tempo pode sergeneralizada e, assim, aplicada para quaisquer variáveis de qualquer espécie.Considere o seguinte problema:Um cubo de metal com aresta x, medida em centímetros, é expandido uniformementecomo conseqüência de ter sido aquecido.

Sendo V o volume do cubo então V = f(x) = x

3

. Com x aumentando, V tambémaumenta e pode-se perguntar: como muda V em relação a uma variação de x? Para seresponder essa pergunta, considere duas medidas x

1

e x

2

da aresta com x

1

< x

2

. Então,

∆

x =x

2

– x

1

é o aumento de x e

∆

V = f(x

2

) – f(x

1

) é o aumento correspondente de V. A relação:

1212

)()(

x x x f x f xV

−−=∆∆

é o aumento do volume por unidade de aumento da aresta.Diz-se que

xV

∆∆

é a taxa de variação de V quando x aumenta de x

1

até x

2

. Porexemplo, se x

1

= 2 e x

2

= 4, então

∆

x = 4 – 2 = 2 cm e

∆

V