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dasFACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

ENGENHARIA MECÂNICA

ATPS DE CÁLCULO III

Claudio José Ferreira Ra: 3770758399

Claudio J. Martins Ra: 3786769970

Emanuel ferreira Ra: 4617899205

João Bosco Dias Ra: 4212773528

Marcio do Espírito Santos Ra: 3786769996

Ricardo Bellintani Lima Ra: 4251866500

CUIABÁ-MT

2013

FACULDADE ANHANGUERA DE CUIABÁ

ENGENHARIA MECÂNICA

ATPS DE CÁLCULO III

Apresentação do trabalho baseado na ATPS, proposto pelo Professor Mil na disciplina de Cálculo III, no 4º semestre, do curso de Engenharia Mecânica da Faculdade Anhanguera de Cuiabá.

Profº. Mil

CUIABÁ-MT

2013

Claudio José Ferreira Ra: 3770758399

Claudio J. Martins Ra: 3786769970

Emanuel ferreira Ra: 4617899205

João Bosco Dias Ra: 4212773528

Marcio do Espírito Santos Ra: 3786769996

Ricardo Bellintani Lima Ra: 4251866500

ATPS DE CÁLCULO III, ETAPAS 01 E 02

INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS

INTEGRAÇÃO POR PARTES E POR SUBSTITUIÇÃO.

Apresentação do trabalho baseado na ATPS, proposto pelo Professor Evaldo Pires, na disciplina de Física III,no 4º semestre, do curso de Engenharia Mecânica da Faculdade Anhanguera de Cuiabá.

Profº. Msc. Evaldo Pires

Cuiabá 02 de Outubro de2013.

BANCA EXAMINADORA

._______________________.

ProfessorMil

Etapa 1

Passo 1

Os primeiros problemas que apareceram na história relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas -

regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número

p.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um

desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos:

Todo o processo geométrico desenvolvido por Cavalieri foi então aritmetizado por Wallis. Em 1655, em seu trabalho Arithmetica infinitorum, Wallis desenvolveu princípios de indução e interpolação que o levaram a encontrar diversos resultados importantes, entre eles, a antecipação de parte do trabalho de Euler dobre a função gamma.

Fermat desenvolveu uma técnica para achar a área sob cada uma das, então chamadas, "parábolas maiores": curvas do tipo , onde é constante e n=2,3,4, etc. Empregou então uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas do tipo , onde e n=-2,-3,-4,etc. Por volta de 1640, a fórmula geral da integral das parábolas maiores era conhecida por Fermat, Blaise Pascal, Descartes, Torricelli e outros.

O problema do movimento estava sendo estudado desde

a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. A derivada da distância era a velocidade e a operação inversa, partindo da velocidade, levava à distância. A partir desse problema envolvendo movimento, a ideia de operação inversa da derivada desenvolveu-se naturalmente e a ideia de que a integral e a derivada eram processos inversos era familiar a Barrow. Embora Barrow nunca tenha enunciado formalmente o Teorema Fundamental do Cálculo, estava trabalhando em direção a esse resultado; foi Newton, entretanto, quem, continuando na mesma direção, formulou o teorema.

Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Ele desenvolveu os métodos das fluxions - derivação - e fluents - integração - e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade. Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.

Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma,

de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo - um 's' longo - para representar summa. Segundo ele, "represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas e, portanto, eu represento em meu cálculo a área da figura por ∫ y dx”.

Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.

Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. Newton escrevia para si próprio e não foi feliz em encontrar uma notação consistente.

Os trabalhos de Leibniz sobre o Cálculo Integral foram publicados em 1684 e em 1686 sob o nome Calculus Summatorius. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690.

Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das

frações parciais. Essas ideias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais.

Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

Integral Indefinida

Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo:

Podemos descobrir qual a função F(x)?

Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada.

Mas geralmente,

onde C é uma constante qualquer.

Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num certo intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma constante C com a propriedade de que: G(x) = F(x) + C, para todo x no intervalo. Por exemplo:

Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da diferença G(x) – F(x) é igual a zero no intervalo considerado.

Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim:

Que é o que queríamos estabelecer:

Esse princípio permite-nos concluir que toda

solução da equação deve ter a forma x2 + C para alguma constante c.

O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função desconhecida cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada, então a função F(x) tal que

Chama-se uma antiderivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar F(x) a partir de f(x) é a antiderivação (ou primitiva). Vimos que f(x) não precisa ter uma antiderivada única, mas se pudermos achar uma antiderivada F(x), então todas as outras terão a forma F(x) + c para vários valores da constante c. Por exemplo, 1/3x3 é uma antiderivada de x2 e a fórmula 1/3 x3 + c inclui todas as possíveis antiderivadas de x2.

Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração.

Da definição da integral indefinida, decorre que:

(i)

(ii) representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função integrando.)

Exemplo:

Estão ambas corretas, mas a primeira dá uma integral enquanto a segunda dá todas as possíveis integrais. A constante c na segunda fórmula chama-se constante de integração e é

frequentemente referida como uma constante arbitrária.

Propriedades da Integral Indefinida

Proposição Sejam f, g: I  R e K uma constante. Então:

(i)

(ii)

A integral da soma é a soma das integrais separadas. Isto se aplica a qualquer número finito de termos.

(iii) n≠ -1

Para integrar uma potência, some ao expoente uma unidade e divida a nova potência pelo novo expoente.

Integral definida

Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença:

Variação em F entre x = a e x = b = F(b) – F(a).

O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pelo símbolo:

O símbolo é lido como “a integral definida de f de a até b”. Os números a e b são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é frequentemente conveniente usar o símbolo:

para a diferença F(b) – F(a).

Passo 2

Desafio A

Aplicando esse conceito de integral, vamos encontrar a integral indefinida de:

Essa resposta é igual a alternativa b do desafio.

Desafio B

Supondo que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$10000 e um custo marginal de C’(q)=1000+50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0)=10000, qual a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés?

Como o custo marginal é a derivada do custo total e o valor da constante foi informado [C(0)], basta integrar o custo marginal

Essa resposta é igual a alternativa a.

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1.e0,07t . Qual a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Como C(t) é uma taxa, isso nos indica que ela é uma derivada. Então para encontrar o consumo entre 1992 e 1994, basta resolver a integração a seguir.

Essa resposta é igual a alternativa c.

Desafio D

A área sob a curva y=ex/2 de x=-3 a x=2.

Para encontrar a área, basta realizar o cálculo da integral.

Essa resposta é igual a alternativa a.

Passo 3

Com a conclusão dos desafios, chegamos a um gabarito da seguinte maneira: b, a, c, a. Fazendo a associação das respostas com o número que é proposto no desafio, teremos: 3, 0, 1, 9.

Etapa 2

Passo 1

Os métodos de integração surgiram para facilitar o cálculo de algo que aparentemente é difícil de se integrar, transformando para uma equação mais simples e fácil de se integrar.

Integração por

substituição

Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variável u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du = g’(x) dx:

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que

Com u e v deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

Com um intervalo de integração definido em [a,b], com derivadas continuas fica-se com:

Passo 2

Mostrar se as seguintes igualdades são verdadeiras:

I)

II)

Resolvendo a primeira, temos:

Fazendo a substituição por u e du obtemos:

Assim, a primeira é verdadeira. Agora resolvendo a segunda temos:

Fazendo a substituição por u e du obtemos:

Com isso, a segunda também é verdadeira. Essa resposta é igual a alternativa a.

Passo 3

Como a alternativa correta foi a alternativa a, iremos associa-la ao número 4.