Algebra Linear

Aplicação da Álgebra Linear na Engenharia Química

A álgebra linear possui uma gama de aplicações não só na matemática, mas também nas engenharias e em muitas outras ciências. Na engenharia química não seria diferente, onde existem inúmeras aplicações, desde um simples cálculo de determinante de uma matriz 2x2 até resoluções de sistemas de equações lineares de muitas equações. Primeiro teremos uma breve introdução a sistemas de equações lineares, para que posteriormente aplicarmos esses conhecimentos na engenharia química através de um exemplo.

Um conjunto finito de equações lineares nas variáveis x1, x2, x3,..., xn é chamado um sistema de equações lineares. Uma seqüência de números s1, s2, s3,..., sn é chamada uma solução do sistema se x1 = s1 , x2 = s2 ,..., xn = sn é uma solução de cada equações do sistema. Por exemplo, o sistema:

4x1-x2+3x3 = -1

3x1+x2+9x3 = -4

Tem a solução x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1, pois estes valores satisfazem ambas as equações.

Um dos métodos mais utilizados para resoluções desses sistemas é o método da Eliminação Gaussiana, onde consiste em escalonar a matriz aumentada. Sabemos que esse método consiste em deixar a matriz aumentada na forma triangular superior, através das chamadas operações elementares realizadas entre as linhas dessa matriz.

Para ilustrar essa eliminação gaussiana, segue a baixo um exemplo que mostra essa aplicação em engenharia química, mas especificamente na área de métodos computacionais em engenharia química:

Uma consideração importante no estudo de transferência de calor é determinar a distribuição de temperatura assintótica de uma placa fina quando a temperatura (em graus Celsius) em suas bordas é conhecida. Considere que a figura abaixo represente uma seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam T1.....T6 as temperaturas em graus Celsius nos seis vértices interiores do reticulado da Figura. A temperatura num vértice é aproximadamente igual à média dos 4 vértices vizinhos mais próximos: à esquerda; à direita; acima e abaixo. Por exemplo: T1=(10+20+T2+T4)/4.

Escreva um sistema de equações cuja solução fornece as estimativas para as temperaturas de T1,..., T6.

Solução: As equações resultantes da distribuição de temperatura na placa são:

4T2 = T1 + 20 + T3 + T5

4T3 = T2 + 20 + 40 + T6

4T4 = T1 + 20 + 10 + T5

4T5 = T4 + 20 + T2 + T6

4T6 = T5 + 20 + T3 + 40

Assim, o sistema de equações lineares, obtido através da distribuição de temperatura na placa, é esparso e simétrico:

Esse sistema de equações não é muito simples de se resolver de forma manual, mas utilizando um método interativo, que nesse caso é o SCILAB, encontra-se com facilidade todas as temperaturas em questão. Como esse sistema possui seis incógnitas e seis equações podemos utilizar