Cálculo 1

exemplo de uma demonstrac ̧a ̃o por absurdo: p √ “Suponha que existam nu ́meros inteiros p e q com q ̸= 0 e q =

Lista 0 de MAT0146 - FEA - 2015

1. Voceˆ ja ́ deve ter aprendido que o nu ́mero √2 e ́ irracional. Isto e ́, ele na ̃o pode ser representado por uma frac ̧a ̃o p q

com p e q nu ́meros inteiros e q ̸= 0. Voceˆ sabe provar isso? Daremos aqui um esboc ̧o da demonstrac ̧a ̃o. Este e ́ um

2. Podemos supor que p e q sa ̃o nu ́meros primos entre si. Enta ̃o p2 = 2q2. Logo p e ́ par, ou seja, p = 2k para algum inteiro k. Mas isto implica que 4k2 = 2q2 e enta ̃o

q2 = 2k2. Portanto q e ́ par. Chegamos assim a uma contradic ̧a ̃o, pois supusemos que p e q sa ̃o primos entre si. Esta

2 e ́ irracional.”

Preencha todos os detalhes desta demonstrac ̧a ̃o. Se p e ́ um nu ́mero primo qualquer, voceˆ e ́ capaz de provar que

contradic ̧a ̃o prova a afirmac ̧a ̃o que √p e ́ irracional?

√

2. Resolva as inequac ̧o ̃es: (a) x(2x − 1)(x + 1) > 0

(b) x3 + 3x2 − 4x − 12 ≤ 0

(c)(x+1000)2 ≥x+1000

3. Decida quais afirmac ̧oes sa ̃o verdadeiras:

x+7 2

(d)