Integrais

.5 – INTEGRAÇÃO DUPLA

5.5.1- Noções de Integração Dupla por Aplicações Sucessivas.

Será vista, agora, uma forma de se obter o valor de uma integral dupla aplicando,

sucessivamente, as fórmulas de quadratura que foram apresentadas.

Seja:

I=

f ( x , y)dxdy

D

A integral que se deseja calcular, onde D é o retângulo delimitado por:

a≤x≤b

c≤y≤d

pode ser escrita na forma:

b

d

dx f ( x, y)dy

I=

a

c

d

Chamando f ( x , y)dy de G(x), pode-se escrever:

c

b

I=

G ( x )dx

a

Para se resolver esta integral simples, pode-se utilizar quaisquer das fórmulas

anteriormente vistas.

Apenas para ilustração do desenvolvimento, será utilizada a 1a Regra de Simpson

ou regra do 1/3.

b

I=

G ( x )dx =

a

h

(G ( x 0 ) + 4G ( x 1 ) + 2G ( x 2 ) + 4G ( x 3 ) + ... + 4G ( x n −1 ) + G ( x n ))

3

b−a

n

Lembrando que :

onde: h =

d

G(xi) = f ( x i , y)dy , (i = 0, 1, 2, ..., n)

c

Para o cálculo dos n + 1 valores de G(xi) pode ser utilizado qualquer método visto

anteriormente e os valores obtidos são levados à equação:

b

I=

a

G ( x )dx =

h

(G ( x 0 ) + 4G ( x 1 ) + 2G ( x 2 ) + 4G ( x 3 ) + ... + 4G ( x n −1 ) + G ( x n ))

...