Introdução A Velocity Verlet

Introdução a Velocity Verlet

1.0 – Introdução

Utilizaremos o método de Velocity-Verlet para primeiramente estimar a posição, velocidade e aceleração de um oscilador harmônico para aprender como o método funciona e posteriormente utilizar o programa para introduzir a orbita do cometa Halley para estudar como sua posição (raio) e velocidade funcionam em função do tempo.

Além disso, para o primeiro programa de resolução do oscilador harmônico, fizemos algumas escolhas de valores para poder resolver o exercício, tais como, determinar que o K da mola é 20, posição inicial 2, velocidade inicial 8. Realizamos também a resolução analítica para comparar com a resposta calculada no programa, para isso utilizamos a solução padrão dos osciladores.

X(t) = A*sen(w*t) + B*cos(w*t), na qual em nosso caso, A e B assumem valores de 8 e 2 através da resolução das condições de contorno a equação.

2.0 – Calculo do oscilador harmônico via Velocity-Verlet:

2.1 - Programa:

PROGRAM VERLET

IMPLICIT NONE

REAL, DIMENSION (1000000) :: X,V,A,P,Q

INTEGER:: K=20, I

REAL*8 :: T=0.00001D0, M=2.0D0

Q(1)=0.0D0

P(1)=0.0D0

X(1)=2.0D0

V(1)=8.0D0

OPEN (unit=1,file="VERLET.txt")

DO I= 1,400000

A(I) = -K*X(I)/M

X(I+1) = X(I) + T*V(I)+ A(I)*(T**2.0D0)/2.0D0

A(I+1) = -K*X(I+1)/M

V(I+1) = V(I) + (T/2.0D0)*(A(I+1)+A(I))

P(I+1) = P(I) + T

Q(I) = 8.0D0*SQRT(M/K)*SIN(SQRT(K/M)*P(I)) + 2.0D0*COS(SQRT(K/M)*P(I))

WRITE(1,*) P(I+1), X(I+1), V(I+1), A(I+1), Q(I)

END DO

cLOSE (1)

PAUSE

END PROGRAM VERLET

2.2 - Gráficos:

Como podemos perceber, o programa gerou valores esperados para um oscilador harmônico, podemos observar isso analisando o ponto de posição igual a zero, na qual possui a maior velocidade do sistema e aceleração igual a zero, além disso analisando o ponto de posição máxima, temos que a velocidade será zero e a aceleração máxima do sistema, características típicas de um oscilador harmônico, comprovando assim que o método Verlet é eficiente para estimar resultados.

O gráfico acima evidencia a precisão do método, quando plotamos as curvas da posição calculada com a posição analítica, não possuímos diferente visual entre as curvas, nem mesmo quando damos zoom em uma região especifica do gráfico. Portanto podemos concluir que o método possui uma grande precisão e que os resultados são confiáveis.

A diferença

3.0 – Órbita do cometa Halley via Velocity-Verlet

3.1 - Programa:

PROGRAM VERLET

IMPLICIT NONE

REAL,