Logica

GABARITO Exercícios da Relação de Equivalência ()

1. Demonstre, utilizando tabelas-verdade, as seguintes relações de equivalência:

a) p  ( p  q )  p (equivalentes)

b) p  ( p  q )  p (equivalentes)

c) ( p  q )  ( p  r )  p  p  r (não equivalentes)

d) p  q  ( p  q )  ~( p  q ) (equivalentes)

2. Negue em linguagem corrente as seguintes proposições:

a) Atlético é alvi-verde e Coritiba é rubro-negro.

Atlético não é alvi-verde ou Coritiba é rubro-negro.

b) As vendas diminuem e os preços aumentam.

As vendas não diminuem ou os preços não aumentam.

c) É falso que está frio ou que está chovendo.

~~(p  q)  p  q : Está frio ou está chovendo.

d) Se João passar em Física então se formará.

João passa em Física e não se forma.

e) Não tenho carro e não tenho moto.

Tenho carro ou tenho moto.

3. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:

a) p  q  r  ( p  q )  ( p  r )

p  q  r 

~p  ( q  r )  (reescrita da condicional)

(~p  q)  (~p  r)  (distributiva)

(p  q)  (p  r) (reescrita da condicional)

b) p  q  r  ( p  q )  ( p  r )

p  q  r 

~p  ( q  r )  (reescrita da condicional)

~p  q  r  (associativa)

~p  ~p  q  r  (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p  ~p  ~p)

(~p  q)  (~p  r )  (associativa)

(p  q)  (p  r) (reescrita da condicional)

c) p  ( r  s  t )  ( p  r )  ( p  s )  ( p  t )

p  ( r  s  t ) 

p  ( r  (s  t))  (associativa em s  t )

(p  r)  (p  (s  t))  (distributiva)

(p  r)  (p  s)  (p  t) (distributiva)

d) p  q  r  p  ( q  r )

p  q  r 

~(p  q)  r  (reescrita da condicional)

~p  ~q  r  (De Morgan)

~p  (~q  r)  (associativa)

~p  ( q  r)  (reescrita da condicional)

p  (q  r) (reescrita da condicional)

e) ~( ~p  ~q )  ~p  q

~( ~p  ~q ) 

~( ~~p  ~q)  (reescrita da condicional)

~(p  ~q)  (dupla negação)

~p  ~~q  (De Morgan)

~p  q (dupla negação)

4. Demonstre as leis de Morgan para três proposições:

a) ~( p  q  r )  ~p  ~q  ~r

~(p  ( q  r) )  (associativa)

~p  ~(q  r)  (De Morgan)

~p  ~q  ~r (De Morgan)

b) ~( p  q  r )  ~p  ~q  ~r

~(p  ( q  r) )  (associativa)

~p  ~(q  r)  (De Morgan)

~p  ~q  ~r (De Morgan)

5. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:

a) Exemplo.: Regra da simplificação: p  q  q

Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p  q  q é tautológica, ou seja, que a condicional p  q  q  V

Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:

p  q  q  (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional)

~( p  q )  q  (aplicando-se a Lei de Morgan)

~p  ~q  q  (aplicando-se lei complementar, ~q  q é uma tautologia)

~p  V  (pela lei da identidade ~p  V é um tautologia)

V Portanto, está provado que p  q  q é uma tautologia

b) Regra da adição: p  p  q

p  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)

~p  (p  q)  (condicional)

~p  p  q  (associativa)

V  q  (complementares ~p  p)

V (identidade)

c) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p

(p  q)  ~q  p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia)

(p  ~q)  (q  ~q)  p  (distributiva)

(p  ~q)  F  p  (complementares)

(p  ~q)  p  (identidade)

~(p  ~q)  p  (condicional)

~p  ~q  p  (De Morgan)

(~p  p)  ~q  (associativa)