Logica Matemática

Resolução

*Etapa 4 (passo 4):

Resposta: “B”

Letra encontrada: “O”.

* Etapa 5 :

A etapa numero 5 pede para que a equipe dê continuidade a etapa 4 (passo 3 e 4).

Etapa 4 (passo 3):

Traduzir o texto apresentado no passo 2 para a linguagem proposicional de acordo com a simbologia estudada no livro texto.

Texto: “José quer ir ao teatro assistir à peça ‘A Vida é uma Comédia’”, mas não tem certeza se a mesma está sendo exibida. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se a peça está ou não em cartaz.

Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então a peça não está sendo exibida.

Ora, ou a peça ‘A Vida é uma Comédia’ está sendo exibida, ou José não irá ao teatro.

“Verificou-se que Maria está certa.”

Tradução

M -> ~J.

~J -> L.

~L -> ~P.

P v ~N.

M = Maria certa.

J = Júlio enganado.

L = Luis enganado.

P = Peça sendo exibida.

N = Ir ao teatro.

* Etapa 6 :

Passo 2:

“Todo notebook tem uma entrada USB. Alguns notebooks têm leitor biométrico. Portanto, alguns notebooks têm uma entrada USB e um leitor biométrico”.

∀ nU(x). ∃ nB(x) <-> ∃nU(x) ∧ B(x).

n=notebook

U(x)=para USB

B(x)=para leitor Biométrico.

Passo 3 :

Resposta: “b”

Letra encontrada: “T”

1. Introdução

• O nome do matemático inglês George Boole (1815 – 1864) se vincula a uma ideia bastante ousada e interessante: a de “matematizar” o raciocínio lógico. De certa forma, essa ideia o coloca numa linha que envolve pensadores como Aristóteles e Leibniz, e que desemboca na “lógica clássica”, da qual a lógica nebulosa pode ser considerada uma extensão.

2. Álgebra de Boole

• Sem a pretensão de adotar uma perspectiva de extremo rigor matemático, tentaremos imediatamente definir o que é uma álgebra de Boole.

• Definamos a sêxtupla {S, +, . , ’, 0, 1}, sendo S um conjunto com elementos x, y, z, ...,

“+” / “.” / “ ’ ” três operações envolvendo elementos desse conjunto e 0 / 1 dois elementos específicos de S. Essa sêxtupla será uma álgebra de Boole se forem válidos os seguintes axiomas:

Associatividade: x + (y + z) = (x + y) + z e x.(y.z) = (x.y).z

Comutatividade: x + y = y + x e x.y = y.x

Distributividade: x+(y.z) = (x+y).(x+z) e x.(y+z) = x.y + x.z

x + 0 = x e x.1 = x

x + x’ = 1 e x.x’ = 0

A partir desses axiomas, diversos resultados importantes podem ser demonstrados:

Os elementos 0 e 1 são únicos

Cada elemento tem um único complemento

(x’)’ = x

x + x = x e x.x = x

x + 1 = 1 e x.0 = 0

x+(x.y) = x e x.(x+y) = x

Leis de Morgan: (x+y)’ = x’.y’ e (x.y)’ = x’ + y’

2.1 Interpretações Lógicas

• Por se tratar de uma definição algébrica geral, é possível interpretar a construção acima de várias formas. Uma delas, de enorme relevância, é considerar a álgebra de Boole como sendo uma descrição de um sistema lógico em que são atribuídos apenas dois “valores-verdade” (truth values) para as proposições (verdadeiro ou falso, T ou F, 1 ou 0), e no qual as operações vistas (+, ., ’) acima correspondem às operações lógicas OR, AND e NOT.

• Em tal caso, percebemos que o conjunto S passa a ser simplesmente o conjunto {0,1}, ou seja, as variáveis - que se associam a proposições - só podem assumir dois valores.

Perceba que é exatamente uma extensão dessa ideia que nos levará ao contexto fuzzy no futuro.

• A interpretação lógica da álgebra de Boole jaz na essência da teoria que fundamenta o projeto de sistemas digitais, sendo parte integrante do currículo de cursos de Engenharia Elétrica e de Computação. Um marco na fusão desses dois mundos foi o trabalho de mestrado de um pesquisador já mencionado em nosso curso, Claude Elwood Shannon.

• Quando se lida com lógica formal, é comum usar o símbolo “∨” em vez de “+” para o operador