Series E Equacoes Diferenciais Series De Taylor

Séries de Potências

Uma série de potências é uma série da forma:

∑_(n=0)^∞▒〖C_n x^n 〗= c_0+c_1 x+c_2 x²+c_3 x³ + ... , onde X é uma variável e C_n’s são constantes chamadas coeficientes da série.

As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. O principal objetivo de estudar essas séries, é que é possível representar uma função dada como de potências, essa uma série estratégia é útil para integrar funções que não têm antiderivadas elementares e para aproximar as funções por polinômios.

Denomina-se série de potências, com coeficientes a_n, em volta dex_0(ou centrada em X_0). Se x_0=0, temos a série de potencias em volta de zero:

∑_(n=0)^(+∞)▒〖a_n x^n=a_0+〗 a_1 x+a_2 x^2+⋯.

Para cada x fixo, a série de potências é uma série de constantes que podemos testar sua convergência ou divergência. Uma série de potências pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros. A soma da série é uma função de x, cujo domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série converge. Esta função assemelha a um polinômio. A única diferença é que f tem infinitos termos.

Exemplo:

∑_(n=0)^(+∞)▒x^n/n!

É uma série de potencias em volta de zero e com coeficientes a_n=1/n!. Objetivamos, de agora em diante, encontrar os valores de x para os quais uma série de potencias seja convergente.

Teorema: Se ∑_(n=0)^(+∞)▒a_n x^n for convergente para x= x_1, com x_1≠0, então a série convergirá absolutamente para todo x no intervalo aberto.

(-|x_1 |,|x_1 |)

sendo, por hipótese ∑_(n=0)^(+∞)▒a_n x_1^n convergente, segue que

lim┬(+∞)⁡〖a_n 〗 x_1^n=0

tornando-se ∈=1, existe um N ∈ℵ tal que, para todo n ≥N,

|a_n x_1^n |≤1.

Como |a_n x_n |=|a_n x_1^n | 〖(|x|)/(|x_1 |)〗^n, resulta que, para todo x e todo n≥N, |a_n x_n |≤〖(|x|)/(|x_1 |)〗^n.

Definição:

Chama-se série de potências de x com coeficientes a_0,a_1,…,a_n,…, a qualquer série da forma:

a_0+a_1 x+a_2 x²+⋯+ a_n x^n+⋯,

ou seja,

∑_(n=0)^(+∞)▒〖a_n x^n 〗

É uma série de potencias centrada em x = 0.

A série da forma:

∑_(n=0)^∞▒c_n 〖(x-a)〗^n= c_0+c_1 (x-a)+c_2 〖(x-a)〗^2+ c_3 〖(x-a)〗^3+⋯+ c_n (x-a)^n+⋯

É denominada série de potencias centrada em a(ou ainda, ao redor de a)

Raio de Convergência

Definição: Chama-se raio de convergência da série

∑_(n=0)^(+∞)▒〖a_n x^n 〗, ao valor R =1/lim┬⁡√(n&|a_n |) Proposição: Seja R o raio de convergência de uma série de potências.

A série é

Absolutamente convergente para x ∈ ]-R,R[;

Divergente em R\[-R,R], insto é, para X tais que |x| > R

O intervalo ]-R,R[ designa-se por intervalo de convergência da série.

Frequentemente, a séries de potência aparece com expoente de (x - c) diferente de n, como no caso de sen x= ∑_(n=0)^∞▒(〖(-1)〗^n x^(2n+1))/(2n+1)! , que tem 2n+1 como potências. Assim, requer cuidados na hora de obter o raio de convergência.

Uma forma de obter o raio de convergência R é aplicar o teste da razão ou da raiz, incluindo potências

de (x-c) para determinar valores de x na qual a séries converge.

A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência.

O domínio de convergência duma série de potências de x é sempre um intervalo centrado em 0.

O intervalo de convergência é o maior intervalo aberto em que a série é convergente.

Exemplo: ∑▒〖n/e^n x^(3n+5) 〗. Considerando o termo geral a_n= n/e^n x^(3n+5), incluindo as potências

de x-c, temos que r= lim┬(n→∞)⁡〖(|a_n+1|)/(|a_(n|) )= lim┬(n→∞)⁡〖((n+1) e^(n+1) 〖|x|〗^(3(n+1)+5))/(n e^n 〖|x|〗^(3n+5) )= lim┬(n→∞)⁡〖(n+1)e/n〗 〗 〗 〖|x|〗^3=∞/∞ =^(L^' Hopital) lim┬(n→∞)⁡〖〖e|x|〗^3/1=e〖|x|〗^3.〗

O limite é aplicado em n e consequentemente, L'Hopital é aplicado em n. Como

precisamos de r < 1 para garantir a convergência, 〖e|x|〗^3< 1/e³. Logo, o raio de convergência é R= 1/e³. O caso de ter deslocamento do centro é análogo.

Exemplo:

∑▒n/2^n 〖(x-1)〗^((n+1)/2)

r=lim┬(n→∞)⁡〖(|a_(n+1) (x-1)^((n+1)/2) |)/(a_n 〖(x-1)〗^((n+1)/2) )=lim┬(n→∞)⁡〖((n+1)2^(n+1))/(n 2n) 〖|x-1|〗^(1/2) 〗 〗=∞/∞

Aplicando a regra de L’Hopital: r= lim┬(n→∞)⁡〖2/1 〖|x-1|〗^(1/2)=2〖|x-1|〗^(1/2) 〗.

r=2〖|x-1|〗^(1/2)<1 → 〖|x-1|〗^(1/2)<1/2→|x-1|<1/4

Raio de convergência é r= 1/4

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