A Algebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR

RESOLUÇÃO: LISTA DE EXERCÍCIOS PARA A PROVA A2

1) Verifique se V = {(x, 4 – 2x); x R

2

} é um subespaço do R2

. Verifique se W = {(x, 2x); x R

2

}

é um subespaço do R2

RESOLUÇÃO:

- Para o subespaço V, teremos:

Dados u = (x1 , y1) e v = (x2, y2), dois vetores de V, verificaremos:

𝑢 = (𝑥1 , 4 − 2𝑥1) 𝑣 = (𝑥2 , 4 − 2𝑥2)

I) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 4 − 2𝑥1 + 4 − 2𝑥2) = (𝑥1 + 𝑥2 , 8 − 2 ∙ (𝑥1 + 𝑥2))

𝑂 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢 + 𝑣 𝑛ã𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜: (𝑥 , 4 − 2𝑥).

𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝒖 + 𝒗 ∉ 𝑽

II) ∝∙ 𝑢 = (∝ 𝑥1 , ∝∙ (4 − 2𝑥1)) = (∝ 𝑥1 , 4 ∝ − 2 ∝ 𝑥1))

𝑂 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 ∝∙ 𝑢 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑆: ∝ 𝒖 ∉ 𝑽

Desse modo, verificamos que V não é um subespaço de R

2

- Para o subespaço W, teremos:

Dados u = (x1 , y1) e v = (x2, y2), dois vetores de W, verificaremos:

𝑢 = (𝑥1 , 2 ∙ 𝑥1) 𝑣 = (𝑥2 , 2 ∙ 𝑥2)

I) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 2 ∙ 𝑥1 + 2 ∙ 𝑥2) = (𝑥1 + 𝑥2 , 2 ∙ (𝑥1 + 𝑥2))

𝑂 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢 + 𝑣 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎.

𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑾

II) ∝∙ 𝑢 = (∝ 𝑥1 , ∝∙ 2 ∙ 𝑥1) = (∝ 𝑥1 , 2 ∙ (∝ 𝑥1))

𝑂 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 ∝ 𝑢 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑑𝑜𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎.

𝐿𝑜𝑔𝑜, ∝ 𝒖 ∈ 𝑾

Satisfeitas as duas condições, verificamos que W é um subespaço de R

2

2

2) Considere os vetores u = (−4, 10, 5), v1= (1, 1, −2), v2= (2, 0, 3) e v3= (−1, 2, 3). Escrever, se

possível, o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.

RESOLUÇÃO:

3) Verificar a dependência linear dos vetores abaixo:

RESOLUÇÃO:

a) Para verificar a dependência linear de 3 vetores do R3

, iremos calcular o seguinte

determinante:

𝑑𝑒𝑡[

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣1

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣2

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣3

] = 𝑑𝑒𝑡[

1 1 −2

2 0 3

−1 2 3

] 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑒𝑡 = −23

Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (LI).

b) Para verificar a dependência linear de 3 vetores do R3

, iremos calcular o seguinte

determinante:

𝑑𝑒𝑡[

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣1

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣2

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣3

] = 𝑑𝑒𝑡[

1 1 −2

2 0 3

8 2 5

] 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑑𝑒𝑡 = 0

Como o determinante é igual a zero, os vetores são linearmente dependentes (LD).

4) Escrever o vetor w = (−3, 5, 3) como combinação linear dos vetores a = (1, 2, −1), b = (−2, 3,

−1) e c = (0, −1, 2).

RESPOSTA:

𝑤 = 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐

3

5) Determine os valores de m para que os vetores u = (2, m, 8), v = (m + 4, −1, 3) e w = (7, 4m, 31)

sejam Linearmente Dependentes.

RESOLUÇÃO:

𝑑𝑒𝑡[

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑢

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣

𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑤

] = 𝑑𝑒𝑡[

2 𝑚 8

𝑚 + 4 −1 3

7 4𝑚 31

] 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜

𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜: 𝑚2 + 𝑚 − 6

𝑂𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟ã𝑜 𝐿𝐷 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑡 = 0

𝑚2 + 𝑚 − 6 = 0

𝑇𝑒𝑚 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠

...