Uma Aplica»c~ao De Algebra ¶ Linear µa Engenharia Civil:
Dissertações: Uma Aplica»c~ao De Algebra ¶ Linear µa Engenharia Civil:. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: maria145 • 14/4/2013 • 842 Palavras (4 Páginas) • 1.307 Visualizações
Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ci^encias Exatas
Departamento de Matem¶atica
Uma Aplica»c~ao de Algebra ¶ Linear µa Engenharia Civil:
Projeto de Estrutura Met¶alica
Prof. Ricardo Takahashi { DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met¶alica como esbo»cada na Figura 1. Trata-se de um
guindaste que dever¶a i»car cargas. O problema consiste em determinar qual ¶e o esfor»co mec^anico em cada
viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resist^encia adequada.
PSfrag replacements
F1 F2
1 2
3 4
5 6
Figura 1: Diagrama de estrutura met¶alica composta de vigas.
O c¶alculo das for»cas que incidem na estrutura, F1 e F2, ¶e imediato, conhecendo-se a massa que ir¶a ser
suspensa e o comprimento do bra»co do guindaste. Com essas for»cas, ¶e preciso agora calcular a for»ca exercida
por cada viga nos n¶os (pontos de interse»c~ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane»ca em
equil¶³brio. Essas for»cas ser~ao denotadas pelas vari¶aveis fij, em que os¶³ndices indicam os n¶os ligados por esta
viga. Assim, por exemplo, a for»ca f41 signi¯ca a for»ca exercida sobre o n¶o 4 pela viga que liga o n¶o 4 ao n¶o
1.
A somat¶oria das for»cas em cada n¶o, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire»c~ao horizontal quanto na dire»c~ao
vertical. Para montar o conjunto de equa»c~oes, tomemos como exemplo o n¶o 1. O n¶o 1 ¶e afetado pelas vigas
que o ligam aos n¶os 2, 3 e 4. As equa»c~oes que implicam no equil¶³brio de for»cas sobre o n¶o 1 s~ao:
f12 cosµ12 + f13 cosµ13 + f14 cosµ14 = F1
f12 sinµ12 + f13 sinµ13 + f14 sinµ14 = 0
(1)
1sendo que µij representa o angulo ^ entre a viga (ij) e a vertical. Construindo cada equa»c~ao da somat¶oria das
for»cas em cada um dos n¶os, obt¶em-se o seguinte conjunto de equa»c~oes:
f12 cosµ12 + f13 cosµ13 + f14 cosµ14 = F1
f12 sinµ12 + f13 sinµ13 + f14 sinµ14 = 0
f21 cosµ21 + f23 cosµ23 + f24 cosµ24 = F2
f21 sinµ21 + f23 sinµ23 + f24 sinµ24 = F2
f31 cosµ31 + f35 cosµ35 + f32 cosµ32 + f36 cosµ36 = 0
f31 sinµ31 + f35 sinµ35 + f32 sinµ32 + f36 sinµ36 = 0
f41 cosµ41 + f45 cosµ45 + f42 cosµ42 + f46 cosµ46 = 0
f41 sinµ41 + f45 sinµ45 + f42 sinµ42 + f46 sinµ46 = 0
f35 sinµ35 + f46 sinµ46 + f54 sinµ54 + f63 sinµ63 = 0;
(2)
A ultima ¶ equa»c~ao diz respeito ao equil¶³brio de toda a estrutura, que n~ao deve ter em conjunto nenhuma
acelera»c~ao horizontal.
Claramente, fij = ¡fji
. Assim, por exemplo, f12 = ¡f21. O conjunto de vari¶aveis a serem determinadas,
portanto, pode ser arranjado no vetor:
f =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
f12
f13
f14
f23
f24
f35
f36
f45
f46
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
:
De¯nindo um vetor F e uma matriz da seguinte forma:
F =
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
F1
0
F2
0
0
0
0
0
0
3
7
7
7
7
7
...