A Algebra Linear
Por: Gustavo Lima • 10/1/2024 • Trabalho acadêmico • 1.225 Palavras (5 Páginas) • 27 Visualizações
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
ENGENHARIA DE MATERIAIS
ATIVIDADE AVALIATIVA: MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE
Gustavo Batista Lima 202203611
GOIÂNIA (GO)
DEZEMBRO, 2023
ATIVIDADE AVALIATIVA: MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE
Atividade Avaliativa apresentada como requisito parcial para a obtenção de aprovação na disciplina Álgebra Linear do Curso de Graduação em Engenharia de Materiais, no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás.
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Donizete Euzebio
GOIÂNIA (GO)
DEZEMBRO, 2023
Sumário
1. INTRODUÇÃO 4
2. MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE 4
2.1 Mudança de base 4
2.2 Definição e propriedades 5
2.3 Exemplos práticos 6
3. CONCLUSÃO 7
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 8
INTRODUÇÃO
A Mudança de Base é um conceito fundamental em álgebra linear, permitindo a representação de vetores em diferentes sistemas coordenados. A Matriz de Mudança de Base é uma ferramenta matemática que facilita essa transição entre sistemas, oferecendo uma maneira eficiente de converter coordenadas de um espaço vetorial para outro. Neste trabalho, exploraremos os fundamentos teóricos e exemplos práticos da Matriz de Mudança de Base.
MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE
2.1 Mudança de base
Dado um espaço vetorial V e duas bases A e B desse espaço, busca-se estabelecer a relação entre as representações de um vetor em termos das coordenadas na base A e na base B. Para simplificar, consideraremos o caso em que a dimensão do espaço vetorial V é 2. No entanto, é importante observar que o mesmo problema pode ser estendido para espaços vetoriais de dimensão n. [pic 1]
O objetivo é compreender como as componentes de um vetor podem ser expressas de maneira equivalente em diferentes bases, facilitando assim a análise da transformação entre sistemas de coordenadas distintos.
Sejam as bases e e V. Dado um vetor , este será um vetor [pic 2][pic 3][pic 4]
(1)[pic 5]
ou
ou, ainda (1-1)[pic 6][pic 7]
e
(2)[pic 8]
ou
ou ainda, (2-1)[pic 9][pic 10]
Por outro lado, os vetores da base A podem ser escritos em relação a base B, isto é:
[pic 11]
(3)
[pic 12]
Substituindo-se e de (3) em (1), vem:[pic 13][pic 14]
[pic 15]
ou
(4)[pic 16]
Comparando as igualdades (4) e (2) vem:
[pic 17]
[pic 18]
ou na forma matricial:
(5)[pic 19]
Tendo em vista as igualdades (2-1) e (1-1) e fazendo
,[pic 20]
a equação matricial (5) pode ser escrita assim:
(6)[pic 21]
A finalidade da matriz M, chamada matriz de mudança de base de A para B, é transformar as componentes de um vetor v na base A em componentes do mesmo vetor o na base B. Se se quiser, em lugar de transformar em , transformar em , a igualdade (6)[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
[pic 26]
permite escrever
(7)[pic 27]
uma vez que M é inversível. Assim, M transformar em e transformar em [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]
2.2 Definição e propriedades
As igualdades (3) do item anterior permitem escrever:
...