A Algebra Linear

RESUMO

Este trabalho tem como fundamento demostrar as resoluções e definições de matrizes e determinantes e suas variadas formas de serem resolvidas. Através da ATPS temos como adquirir maior aprendizado e desenvoltura, pois desenvolvemos também o conhecimento de sermos auto ditadas.


INTRODUÇÃO

Nessa ATPS de Álgebra Linear, serão mostrados três etapas. Iremos abordar os temas de Matrizes e Determinantes.

ETAPA 1: MATRIZES

Passo 1.

Decidimos utilizar dois livros para apoio ao desenvolvimento dessa ATPS. Utilizamos o PLT, conforme instrução do professor e também um livro que possuiamos em minha posse MACHADO, Trajano Couto. Vetores e Geometria Analítica. Yangraf Gráfica e Editora LTDA, 2005.

Apesar de o livro ter 10 anos que foi escrito a linguagem é de fácil entendimento e os exercícios de simples compreensão.

Passo 2.

Foi analisado as definições de Matrizes, conforme o PLT.

Passo 3.

Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas. Por exemplo, podemos colocar os dados referentes a altura, peso e idade de uma família de cinco pessoas como descritos na tabela abaixo:

Cada um dos seus elementos tem dois índices (ai j). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n.    Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  dizemos que a matriz é de ordem n  e a chamamos de matriz quadrada. 

[pic 1]

Passo 4.

Matriz Linha: Toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente.

[pic 2]

Matriz Coluna: Toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente.

[pic 3]

Matriz Nula: Toda matriz que independente do número de linhas ou colunas, tenham seus elementos como nulos.

[pic 4]

Matriz Quadrada: Toda matriz que tenha o mesmo número de linhas e colunas. Na matriz quadrada temos duas diagonais a diagonal principal e a secundaria.

[pic 5]                [pic 6]

Matriz Idendidade:  Para que uma mariz seja identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertence a diagonal principal devem ser iguais a ! e o restante dos elementos serem 0.

[pic 7]

Matriz Oposta: Dada a matriz B, a matriz oposta dela é –B.

[pic 8][pic 9]

ETAPA 2: MATRIZES E DETERMINANTES

Passo 1.

É uma função que associa um número real a uma matriz quadrada de acordo a uma definição dada.

[pic 10]

Notação: detA, det(A), |A|, det(aij)

Passo 2.

Matriz de ordem 2 x 2

|7  0|

|9  1|

7*1 – 0*9 = detA= 7

Matriz de ordem 3 x 3

|-7  6  1| |-7  6|

|8  9  -2| | 8  9|

|-4 -5  3| |-4 -5|

(-7)*9*(-2) + 6*(-2)*(-4) + 1*8*(-5) - 6*8*3  - (-7)*(-2)*5 - 1*9*(-4) = detA= -219

Passo 3.

As propriedades abaixo devem ser levadas em conta quando se pensar em determinante de matriz. São elas:

1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinante será zero.

[pic 11]

2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero.

[pic 12]

3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior.

[pic 13] 

det = 8 – 15       det = 15 – 8

det = -7              det = -7

4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma  linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Consequência da propriedade:

[pic 14] onde n é a ordem da matriz.

Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A).

det (2A) = 23 . det A

det (2A) = 8 . 5

det (2A) = 40

5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.

[pic 15]

6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A

[pic 16]

7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

[pic 17]

det = (-3) . 2 . 4 . 2

det = - 48

8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que:       det (A.B) = det A . det B.

[pic 18]

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