A Mecânica dos Fluidos

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A Equação de Navier-Stokes, em Mecânica dos Fluidos, é uma equação diferencial parcial que descreve o comportamento de fluidos incompressíveis. A equação é um postulado de uma situação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler no século XVIII para representar o comportamento de líquidos incompressíveis e sem atrito. Em 1821, Claude-Louis Navier apresentou uma componente de viscosidade (atrito) para problemas mais realísticos e, insondavelmente mais problemáticos, dos líquidos viscosos. Durante todo o século XIX, o físico e matemático britânico Sir George Gabriel Stokes aprimorou esse trabalho, mas arranjos completos serviam exclusivamente para fluxos simples bidimensionais. Os vórtices complexos e turbulências que acontecem em fluxos tridimensionais (incluindo gases), à medida que as velocidades aumentam, demonstraram ser recalcitrantes a quaisquer estratégias de exame matemático.

A equação original de Euler, em termos atuais, é

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onde  é o vetor de velocidade do fluido, P é a pressão do fluido, ρ é a densidade do fluido e ∇ operador gradiente.[pic 3]

A equação original de Navier-Stokes é:

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onde  é o operador laplaciano.[pic 5]

São usados, analiticamente ou numericamente por meios computacionais, para modelar o clima, as correntes oceânicas, o fluxo de água em um tubo e o fluxo de ar ao redor de uma asa. As equações de Navier-Stokes, em suas formas completas e simplificadas, ajudam no projeto de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no projeto de usinas elétricas, na análise da poluição e muitas outras coisas.

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O Teorema do transporte de Reynolds (também conhecido como teorema do transporte de Leibniz-Reynolds), ou em suma o teorema de Reynolds, é uma generalização tridimensional da regra integral de Leibniz. Essa teoria é usada para calcular derivadas de quantidades integradas. O Teorema do transporte de Reynolds pode ser simplesmente enunciada como :

“O que já estava lá mais o que entra menos o que sai é igual ao que está lá.”

O teorema de Reynolds é usado na formulação das leis básicas de conservação de mecânica do contínuo, particularmente a dinâmica dos fluidos e a mecânica dos sólidos de grandes deformações. Essas leis de conservação (lei da conservação da massa, lei da conservação do momento linear e lei da conservação de energia) são da mecânica clássica e da termodinâmica onde um sistema de abordagem é normalmente seguido. Na mecânica dos fluidos, muitas vezes é mais conveniente trabalhar com volumes de controle, pois é difícil identificar e seguir um sistema de partículas fluidas. Assim, há a necessidade de reportar ao sistema e equações de volume de controle correspondentes. A ligação entre os dois é dada pelo Teorema do transporte de Reynolds.

Imagine um sistema e um volume de controle coincidente com uma superfície de controle. A teoria do transporte de Reynolds afirma que a taxa de variação de uma propriedade extensiva N, para o sistema, é igual à taxa de variação temporal de N dentro do volume de controle e a taxa líquida de fluxo da propriedade N através da superfície de controle. Por exemplo, a lei da conservação da massa afirma que a taxa de variação da propriedade, massa, é igual à soma da taxa de acumulação de massa dentro de um volume de controle e a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle.

As formas diferenciais dessas equações com suposição adicional da lei de viscosidade de Newton são comumente conhecidas como equações de Navier-Stokes.

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A relação entre as variáveis em diversas áreas do conhecimento físico e químico ​​pode ser obtida através de um método denominado π de Buckingham. O teorema do Pi de Buckingham afirma que:

Se houver n variáveis ​​em um problema e essas variáveis ​​contiverem m dimensões primárias (por exemplo M, L, T) a equação que relaciona todas as variáveis ​​terá (n-m) grupos adimensionais.

Os grupos π devem ser independentes uns dos outros e nenhum grupo deve ser formado pela multiplicação de potências de outros grupos. Este método oferece a vantagem de ser mais simples do que o método de resolução de equações simultâneas para obter os valores dos índices (os valores dos expoentes das variáveis).

Neste método de resolver a equação, existem 2 condições:

• Cada uma das dimensões fundamentais deve aparecer em pelo menos uma das m variáveis
• Não deve ser possível formar um grupo adimensional de uma das variáveis ​​dentro de um conjunto recorrente. Um conjunto recorrente é um grupo de variáveis ​​formando um grupo adimensional.

Na mecânica dos fluidos, os números adimensionais são aqueles que são úteis para determinar as características de fluxo de um fluido. A força de inércia sempre existe se houver alguma massa em movimento. Dividindo essa força de inércia com outras forças, como força viscosa, força da gravidade, tensão superficial, força elástica ou força de pressão, temos os números adimensionais.