A Mecânica dos Fluidos
Por: rgpaiva1 • 21/5/2015 • Trabalho acadêmico • 1.610 Palavras (7 Páginas) • 433 Visualizações
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Departamento de Engenharia Civil
Mecânica dos Fluidos
Ailton de Almeida
Gaspar Augusto Faleiro de Resende; Luciana Carolina Gomes Ferreira; Maria Carolina Oliveira
Equação da Continuidade
Lavoisier, em 1780, realizou experiências mostrando que o peso dos produtos da fermentação do açúcar era igual ao peso dos ingredientes antes da fermentação, concluindo que “em todas as operações da arte e da natureza nada é criado e nem tampouco destruído”. Uma igual quantidade de matéria existe tanto antes como depois da experiência.
As experiências de Lavoisier constituem a base para um dos axiomas fundamentais de toda a Ciência, qual seja o “PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA”. A relação de conservação da massa de um sistema fechado que passa por uma variação é expressa como 𝒎𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ou .[pic 2]
Para um volume de controle (VC), o balanço de massa é expresso na forma de vazão como:
m𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂 − 𝒎 𝒔𝒂𝒊 = (equação da continuidade)[pic 3]
A quantidade de massa que escoa através de uma seção transversal por unidade de tempo é chamada de vazão em massa (vazão mássica) e é indicada por 𝑚 = .[pic 4]
Um fluido escoa para dentro e para fora de um VC, geralmente através de dutos ou tubos.
VC
m entra m saída
[pic 5][pic 6]
[pic 7]
A vazão em massa diferencial que escoa através de um pequeno elemento de área 𝒅𝑨𝒄 de uma seção transversal do tubo é proporcional a própria área 𝒅𝑨𝒄, à densidade do fluido ( 𝝆) e ao componente de velocidade do escoamento normal a 𝒅𝑨𝒄, indicado por 𝑽𝒏.
𝝆 fluido
dA[pic 8]
Vn[pic 9]
𝒎 = [pic 10]
δm = [pic 11]
Embora a equação ao lado seja sempre válida, nem sempre é útil para as análises de engenharia por causa da integral.
𝒎 = [pic 12]
Em vez disso, gostaríamos de expressar a taxa do escoamento de massa em termos de valores médios sobre a seção transversal do tubo. Para um escoamento geral, compressível, 𝜌 𝑒 𝑉𝑛 variam através do tubo.
Em muitas aplicações práticas, porém, a densidade (𝜌) é essencialmente uniforme ao longo da seção transversal do tubo, e podemos colocar 𝜌 fora da integral.
𝒎 = [pic 13]
A velocidade, porém, nunca é uniforme ao longo de uma seção transversal de um tubo, devido a condição de não-escorregamento nas paredes.
A velocidade varia de zero nas paredes até um valor máximo no eixo central do tubo ou perto dele.
[pic 14]
Definimos a velocidade média 𝑽𝒎é𝒅 como o valor médio de 𝑉𝑛 sobre toda a seção transversal do tubo.
= [pic 15][pic 16][pic 17]
Assim para um escoamento geral, onde 𝜌 seja uniforme ao longo de 𝑑𝐴𝑐.
𝒎 = 𝝆𝑨𝒄 (KG/s)[pic 18]
O princípio da conservação da massa para um volume de controle (VC) durante um intervalo de tempo ∆𝑡 pode ser expresso como:
𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 − 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒔𝒂𝒊𝒏𝒅𝒐 = 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂
Vazão
Vazão volumétrica é definida como o volume de fluido que escoa por uma área, por unidade de tempo.
Q= VA
Vazão mássica é definida como a massa de fluido que escoa por uma área, por unidade de tempo.
M= 𝝆VA
Exercício
Uma mangueira de jardim conectada a um bocal é usada para encher um balde de 10 galões. O diâmetro interno da mangueira é de 2 cm, e ele se reduz para a 0,8 cm na saída do bocal. Se necessários 50 s para encher o balde com água, determine (a) as vazões em volume e massa de água através da mangueira e (b) a velocidade média da água na saída do bocal.
a)Observando que 10 galões de água são descarregados em 50s, as vazões em volume e em massa da água são:
V= = = = 0,757 L/s[pic 19][pic 20][pic 21]
M= ρV = (1kg/L)(0,575 L/s) = 0,757 kg/s
b) A área da seção transversal na saída do bocal é
= π² = π (0,4cm)² = 0,5027 cm² = 0,5027xm²[pic 22][pic 23][pic 24]
A vazão em volume através da mangueira e do bocal é constante. Assim, a velocidade média da água na saída do bocal torna-se:
= = = = 15,1 m/s[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
É possível mostrar que a velocidade média na mangueira é de 2,4 m/s. Portanto, o bocal aumenta a velocidade da água em mais de seis vezes.
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