A TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E DE STOKES
Por: Victor Marinho • 17/1/2018 • Trabalho acadêmico • 995 Palavras (4 Páginas) • 248 Visualizações
TEOREMA DA DIVERGÊNCIA E DE STOKES (NO ESPAÇO)
2 ÁREA E INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
Nesta primeira seção do trabalho mostraremos as definições de superfície, e como calcular sua área através do método de integração, para depois abordamos os teoremas, da divergência e de Stokes, em si.
2.1 Superfície
Agora definiremos o que é uma superfície parametrizada.
Por uma superfície parametrizada σ entendemos uma transformação , onde A é um subconjunto do . Supondo que as componentes de σ sejam dadas por x = x (u, v), y = y (u, v) e z = z (u, v), então σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)).[pic 1][pic 2]
Escrevemos com frequência
(1)[pic 3][pic 4]
para indicar a superfície parametrizada σ dada por σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)).
O lugar geométrico descrito por σ (u, v), quando (u, v) percorre A, é a imagem de σ:
.[pic 5]
É comum nos referirmos a (1) como uma parametrização do Conjunto Im σ.
2.2 Plano Tangente
Agora falaremos sobre o plano tangente a essa superfície parametrizada.
Seja , Ω aberto, uma superfície parametrizada de classe e seja um ponto de Ω. Fixado é uma curva cuja imagem está contida na imagem de σ. Se , então será um vetor tangente a esta curva no ponto . De modo análogo, fixado , podemos considerar a curva ; se , então será um vetor tangente a esta curva no ponto .[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
Se , podemos considerar o plano que passa por e que seja normal ao vetor . Tal plano denomina-se plano tangente à superfície σ no ponto e tem por equação[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
[pic 22]
Tal equação pode, também, ser colocada na forma
[pic 23]
Seja , Ω aberto, de classe . Dizemos que σ é regular no ponto se . Dizemos que σ é regular em Ω se for regular em todo ponto de Ω. Observamos que σ ser regular em Ω significa que σ admite plano tangente em todo ponto σ (u, v), com (u, v) .[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
2.3 Área de Superfície
Seja , onde K é um com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Supondo que σ é de classe em K e regular no interior de K.[pic 29][pic 30]
σ transforma o retângulo de lados Δu e Δv no “paralelogramo curvilíneo” ABCD contido na imagem de σ.
A área do paralelogramo determinado pelos vetores é[pic 31]
.[pic 32]
Daí temos:
[pic 33]
e
[pic 34]
A “área” ΔS de ABCD é, então, aproximada pela área do paralelogramo de lados .[pic 35]
Assim, definimos que
.[pic 36]
2.4 Integral de Superfície
Seja K um compacto de , com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio; seja de classe em K, regular e injetora no interior de K.[pic 37][pic 38][pic 39]
Seja w = f (x, y, z) uma função a valores reais definida e contínua na imagem de σ. Definimos a integral se superfície de f sobre σ por
[pic 40]
Onde é o elemento de área.[pic 41]
3 FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL
Agora definiremos o que é um fluxo de um campo vetorial.
Seja de classe , onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio. Suponhamos que σ seja injetora e regular no interior de K. Consideramos os campos vetoriais dados por[pic 42][pic 43][pic 44]
[pic 45]
e
[pic 46]
Seja um campo vetorial contínuo e seja um dos campos descritos anteriormente. E seja a função a valores reais dada por[pic 47][pic 48][pic 49]
[pic 50]
A partir disto, a integral de superfície
[pic 51]
Denomina-se fluxo de através de σ, na direção .[pic 52][pic 53]
Desenvolvendo a equação a partir da definição de integral de superfície temos que,
[pic 54]
se .[pic 55]
ou
[pic 56]
se .[pic 57]
4 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
Munidos de um conhecimento previu falaremos sobre o teorema da divergência.
Seja um conjunto, com interior não-vazio, cuja fronteira coincide com a imagem de uma cadeia . Suponhamos que, para cada índice i, seja possível escolher uma normal unitária , com apontando para fora de B. [pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
Seja um campo vetorial definido na fronteira de B e que coincide com sobre [pic 62][pic 63][pic 64]
Seja um campo vetorial de classe num aberto contendo B, é válida a relação[pic 65][pic 66]
[pic 67]
4.1 Prova
Quando projetamos uma região regular e simples B no plano xy, sua fronteira σ consiste de duas partes dadas pelas funções respectivamente. Seja uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em B. Então:[pic 68][pic 69][pic 70]
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