TEOREMAS DE GAUSS E DE STOKES DIVERGENTE E ROTACIONAL

[pic 1]

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática

[pic 2]

TEOREMAS DE GAUSS E DE STOKES

DIVERGENTE E ROTACIONAL

Para entender os teoremas de Gauss e de Stokes, precisamos definir dois operadores para campos vetoriais que são básicos nas aplicações do cálculo vetorial. Cada operador lembra uma diferenciação, mas um produz um campo escalar enquanto que outro produz um campo vetorial.

Introduziremos o operador diferencial vetorial ∇ (“del”) como:

[pic 3]

Ele tem a propriedade de , quando aplicado a uma função escalar f, produzir o gradiente de f:

[pic 4] = [pic 5].

Consideremos, agora, uma campo vetorial [pic 6] em IR3. Se pensarmos em ∇ como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z, podemos escrever, simbolicamente, o produto escalar de ∇ por [pic 7], obtendo, assim, o escalar chamado divergente de [pic 8]:

div[pic 9] = ∇ . [pic 10] = [pic 11]

Exemplo 1: Se [pic 12], ache div[pic 13].

div[pic 14] = ∇ . [pic 15] = [pic 16] = z + xz – 0 = z (1 + x)

Considerando o produto vetorial formal de ∇ por [pic 17], temos o vetor ∇ X [pic 18]= rot [pic 19], chamado rotacional de [pic 20]:

rot [pic 21]= ∇ X [pic 22]= [pic 23]

Exemplo 2: Se [pic 24], ache rot[pic 25].

rot [pic 26]= ∇ X [pic 27]= [pic 28]

TEOREMA DA DIVERGÊNCIA (DE GAUSS)

Seja Q um sólido simples e seja σ a superfície que limita Q (σ = fronteira de Q), orientada positivamente (para fora). Se [pic 29]é um campo vetorial cujas funções componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta que contém Q, então:

[pic 30]

Exemplo 3: Determine o fluxo d0o campo vetorial [pic 31] sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.

Como a esfera (σ) é uma superfície que limita o sólido esférico Q: x2 + y2 + z2 ≤ 1, podemos usar o teorema de Gauss, fazendo:

[pic 32]= [pic 33]= volume de σ = [pic 34]

Obs.: div [pic 35]= 0 + 1 + 0 = 1

Exemplo 4: Calcule [pic 36], onde [pic 37] e σ é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 – x2 e pelos planos  z = 0 , y = 0 e y + z = 2.

[pic 38][pic 39]

usaremos o teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em integral tripla.

Escreveremos o sólido Q como: Q = {(x, y, z) | -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 – x2, 0 ≤ y ≤ 2 – z }.

Assim, temos:

[pic 40]= [pic 41]= [pic 42]= [pic 43]

                 = [pic 44] = [pic 45] = [pic 46]

                 = [pic 47]

TEOREMA DE STOKES

Seja σ uma superfície orientada com um número finito de arestas (suave por partes), cuja fronteira é formada por uma curva C simples, fechada, suave por partes, com orientação positiva. Seja [pic 48] um campo vetorial cujos componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região aberta do IR3 que contém σ. Então:

[pic 49]                  [pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Exemplo 5: Calcule [pic 59], onde [pic 60] e C é a curva da intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. ( Oriente C para ter o sentido anti-horário quando olhada de cima).

[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]

Dentre as muitas superfícies com fronteira C, a escolha mais conveniente é a região elíptica σ no plano y + z = 2 cuja fronteira é C. Se orientarmos σ para cima, então a orientação induzida em C será positiva. A projeção D de σ sobre o plano xy é o disco x2 + y2 ≤ 1 e, assim, fazendo z = 2 – y , temos: