AS TÉCNICAS DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO[pic 1][pic 2]

MARANHÃO - CAMPUS IMPERATRIZ

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

PAULO HENRIQUE VIANA NOGUEIRA SANTANA
CONTROLE I

TÉCNICAS DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES 

Exercício 3.2: Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado abaixo e determine:

 

[pic 3]

1. O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento de 0.45.

[pic 4] 

             Figura 1 – Lugar geométrico das raízes da malha do exercício 3.1.

 

Valor de  ζ = 0.45, corresponde ao ponto

[pic 5]

1. O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza o eixo imaginário.

[pic 6]

d. A faixa de K na qual o sistema é estável.

De acordo com item b, nota-se que o sistema é estável para k<1.5.

 

Script Matlab dos resultados:

clear all clc warning off      disp('Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado abaixo e determine:')     num = [1 -4 20]; den = poly([-2 -4]);    disp('G(s)H(s)')  G = tf(num,den)          zeta = 0.45; wn = 0;                           rlocus(G) sgrid(zeta,wn)  title('Lugar Geométrico das Raízes')

 

Exercício 3.3: Considere o sistema mostrado abaixo. Projete o valor do ganho K para obter uma %UP = 1.52%. Além disso, calcule o tempo de assentamento, o instante de pico e o erro de estado estacionário.  

 

[pic 7]

Uma ultrapassagem percentual %UP de 1.52% corresponde a um fator de amortecimento de 0.8, conforme equações abaixo:  

        [pic 8]

Observe a projeção do lugar das raízes para o sistema proposto:  

         [pic 9]

 

             .

Da imagem acima observa-se que os pontos onde o lugar geométrico das raízes cruza a reta de fator de amortecimento 0.8 são: −4.6 ± 3.45 , −1.19 ± 0.895 ,−0.877 ±

0.658 com ganhos de 39.6, 12.8 e 7.41 respectivamente.  

Para o cálculo do tempo de acomodação Ts é utilizada a equação  

[pic 10]

Parte real do polo em malha fechada        , isto é: [pic 11]

Caso 1.         Re{4.6}	↔	Ts = 0.87
Caso 2.         Re{1.19}	↔	Ts = 3.36
Caso 3.         Re{0.87} Para o instante de pico, tem-se que:	↔	Ts = 4.59

[pic 12]

                                 representa a parte imaginária do polo em malha fechada, ou seja: [pic 13]

Caso 1.	Im{j3.45}	↔	Tp = 0.91
Caso 2.	Im{j0.895}	↔	Tp = 3.51
Caso 3.	Im{j0.658}	↔	Tp = 4.77

A especificação do erro em regime permanente (Kv) é obtida através de  

[pic 14]

Isto posto tem-se que:
Caso 1.	K = 39.6	↔	Kv = 5.94
Caso 2.	K = 12.8	↔	Kv = 1.92
Caso 3.	K = 7.41	↔	Kv = 1.11

         [pic 15]

 

Através do LGR, verificar-se a aproximação válida, para os casos 2 e 3 apresentam terceiros polos distantes do zero em malha fechada, logo uma aproximação de sistema de segunda ordem não é válida. Para o caso 1, o terceiro polo em malha fechada e o zero em malha fechada estão próximos um do outro, o que justifica uma aproximação de segunda ordem.

Abaixo uma tabela com os dados obtidos, os valores foram arredondas à medida que se considerou conveniente.