Acréscimos e razão entre acréscimos de variáveis

1 ACRÉSCIMOS E RAZÃO ENTRE ACRÉSCIMOS DE VARIÁVEIS

Numa função do tipo y = f(x), y é chamado de variável dependente da função e x de variável independente. Veja a função abaixo.

variável independente ou variável livre

y = 2x + 5

variável dependente ou valor da função

Quando a variável independente x assume os valores x = x1 e x = x2 ,

o acréscimo de x é obtido pela expressão:

x = x2 – x1

Da mesma forma, a variável dependente y, assume valores y = y1 e y = y2 , cujo acréscimo de y é calculado por

y = y2 – y1

onde y é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de variação da função.

Exemplo. Calcule:

a) O acréscimo da variável independente x , quando ela passa de x1 = 3 para o valor

x2 = 8.

Solução: x = x2 – x1  x = 8 – 3  x = 5

b) O acréscimo da variável dependente ( y ), correspondente ao acréscimo da variá-vel independente ( x ), quando x passa de x1 = 3 para x2 = 8.

Solução: se x1 = 3  y1 = 2.3 + 5  y1 = 11

se x2 = 8  y2 = 2.8 + 5  y2 = 21

y = y2 – y1  21 – 11  y = 10

2 TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇAÕ

Considerando x variando no intervalo [ x1 , x2 ], A taxa média de variação da função ou razão incremental de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente:

. Levando-se em conta o exemplo anterior, temos:

Obs(01)

Se no lugar de y = 2x +5, tivermos f(x) = 2x +5 , então, y = y2 – y1 pode ser dado por f(x) ou mais simplesmente por f = f(x2) – f( x1), e, no lugar de , escreveríamos:

= = = = = 5

Obs(02)

Se x é dado por x = x2 – x1, então x2 = x1 + x. Fazendo x = h implica que

x2 = x1 + h e f(x) = f(x2) – f( x1) pode ser escrito por f(x) = f(x1 + h) – f( x1).

Exercícios:

01) Calcule a taxa média de variação da função f(x) = 3x2 – 5, para x1 = 2 e x = 8

Solução:

Lembrando que x2 = x1 + x  x2 = 2 + 8 e x2 = 10

f(x1) = f(2) = 3 . 22 – 5 = 7

f(x2) = f(10) = 3 . 102 – 5 = 295

y = f(x2) – f(x1)  y = f(x1 +x ) – f(x1)  y = f(10 ) – f(2)

y = 295 – 7 = 288 

02) Calcule o acréscimo da função y = 2x2 – 4x + 5 e a correspondente razão incre-mental para x1 = 3 e x = 5

Solução: x2 = x1 + x  x2 = 3 + 5  x2 = 8

y1 = 2. 32 – 4.3 + 5 = 11

y2 = 2. 82 – 4.8 + 5 = 101

y = 101 – 11 = 90 

03) Calcule a taxa média de variação da função y = x3 – 3x2 + x – 4 para x1 = –1 e x2 = 1

Solução: x =  x2 – x1 = 1 – (–1) = 2

y1 = (–1)3 – 3.(–1)2 + (–1) – 4 = –9

y2 = 13 – 3.1 + 1 – 4 = – 5

y = y2 – y1 = – 5 – ( –9) = – 5 + 9 = 4 

3. CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

Denomina-se derivada de uma função y = f(x) num ponto de abscissa x1, o limite se existir e for finito, da razão quando tende a zero.

Para melhor fixar a idéia, vamos supor uma situação problema:

Calcule a taxa média de variação da função y = x2 para um ponto x1 = 3 e outro ponto x2 muito próximo de 3.

Solução:

Para resolvermos este problema, vamos lembrar que em geral a razão fornece uma taxa média de variação aproximada da grandeza y em relação à grandeza x. Se qui-sermos informações cada vez mais precisa sobre a taxa em que y varia com x a partir de um valor inicial de x, devemos tomar valores de cada vez menores e observar os va-lores correspondentes de . Fazendo isto se obtém a seguinte tabela.

3,1 3 0,1 9,61 9 0,61 6,1

3,01 3 0,01 9,0601 9 0,0601 6,01

3,001 3 0,001 9,006001 9 0,006001 6,001