Algebra linear

Considere o sistema Linear Homogêneo [pic 1] Qualquer solução deve ter a forma [pic 2], onde  [pic 3]  é um vetor não nulo que satisfaz a igualdade  [pic 4] O número  [pic 5]  é chamado de  autovalor da matriz A,  e  [pic 6]  é chamado autovetor associado ao autovalor [pic 7] da matriz A.  Observe que se  [pic 8]  é um autovetor associado a  [pic 9],  então  [pic 10]  é também um autovetor associado a  [pic 11] .  Nossa meta é encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz. Cálculo dos autovalores Considere a matriz [pic 12] e suponha que  [pic 13] é um autovalor da matriz A.  Então, deve existir um vetor não nulo [pic 14],  tal que  [pic 15] . Esta equação pode ser reescrita como um Sistema Linear [pic 16] que é equivalente ao sistema [pic 17] Desta forma, ambos  [pic 18]   e  [pic 19]  não podem ser iguais a zero ao mesmo tempo, nós devemos ter o determinante do sistema igual a zero. Daí, [pic 20], que reduz ao polinômio [pic 21]. Observe que o polinômio acima é independente do vetor  [pic 22] .  Este polinômio é chamado Polinômio característico do Sistema Linear. Examplo: Encontre o polinômio característico e os autovalores da matriz [pic 23] Resposta: O polinômio característico é dado por [pic 24]. Este é um polinômio do segundo grau tendo como raízes [pic 25]   e   [pic 26]  que são os autovalores da matriz. Cálculo dos autovetores Sendo [pic 27]  um autovalor da matriz A, um autovetor associado  [pic 28]  é dado pela equação matricial [pic 29]. Defina [pic 30]. Então,  a equação matricial reduz-se ao Sistema Linear [pic 31] que é equivalente (tem as mesmas soluções) do sistema [pic 32] Uma vez que conhecemos  [pic 33] , temos um sistema com duas variáveis. Recorde que se  [pic 34]  é um autovetor, também é todos os seus múltiplos [pic 35] . Examplo: Considere a matriz [pic 36]. Encontre os autovetores associados ao autovalor  [pic 37] . Resposta: Já vimos que  [pic 38] é um autovalor da matriz. Seja  [pic 39]  um autovetor associado ao autovalor  [pic 40] . Defina [pic 41] . Então devemos ter [pic 42] que reduz-se a uma única equação [pic 43], que produz [pic 44] . Portanto, temos [pic 45] que são os autovetores associados ao autovalor [pic 46] .

Última atualização em Seg, 18 de Maio de 2009 23:10

 

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