Atps Calculo II

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 2

DERIVAÇÃO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 3

Velocidade instantânea 3

Gráficos do espaço x tempo e velocidade x tempo 4

Aceleração instantânea 5

Gráfico da aceleração x tempo 6

DERIVAÇÃO: FUNÇÃO EXPONENCIAL 7

Constante de Euler 7

Séries harmônicas 9

Crescimento populacional 10

Gráfico do crescimento populacional x tempo 11

TAXAS RELACIONADAS E OTIMIZAÇÃO 12

4.1 Maximizando o volume da lata de óleo 12

4.2 Layout e modelo da lata de óleo 13

4.3 Cálculo do bico de envasadura 13

4.4 Cálculo de volume e velocidade do óleo 14

APLICAÇÕES À MARGINALIDADE 14

5.1 Função custo e função receita 14

5.2 Lucro máximo 15

5.3 Receita marginal e custo médio 15

6. CONCLUSÃO 17

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 18

INTRODUÇÃO

O presente trabalho visa a demonstrar o conceito de velocidade instantânea, constatando que as funções tempo e espaço estão diretamente ligadas, na mesma equação podemos ter velocidade média, instantânea a e as duas estão relacionadas ao tempo, se dermos um zoom na função e estudar a minúscula função relacionando o tempo e a velocidade podemos então a chegar na velocidade instantânea, a velocidade naquele exato momento.

Na matemática aplicada podemos contar com diversas ferramentas que nos auxiliam a chegar a um resultado que exige mais complexidade no estudo, uma das ferramentas que podemos citar é a constante de Euler conhecida como “e” trata-se de um numero irracional com mais de 40 casas decimais, que pode ser definida com limite das diferenças. Sendo que aplicando a fórmula dada concluísse que quanto maior o valor de n mais próximo o valor se aproxima do valor real de Euler “e”.

DERIVAÇÃO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

2.1. Velocidade Instantânea

Existem diversos modos para calcular a velocidade de um corpo ou a própria velocidade média, ambas as medidas estão diretamente ligadas a um intervalo de tempo, entretanto para calcular a velocidade em certo instante é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo, quando esse intervalo diminui em torno dele.

v_m=lim┬(∆t→0)⁡〖(s-s_0)/∆t〗

Conforme Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de zero, ou seja, de um valor limite tendendo a zero, sendo a velocidade exata naquele instante (velocidade instantânea).

t→0 .

Para que a razão (s-s_0)/∆t substituindo o valor da variação do tempo a zero, não seja uma impossível é necessário o uso do limite.

v_i=lim┬(h→0)⁡〖(s(a+h)+ s(a))/h〗

Desta forma, tem-se a velocidade em um determinado instante, ou seja, a velocidade instantânea.

f^' (x)=lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Através da identidade entre as fórmulas, conclui-se que a velocidade instantânea v é a função derivada da função horária dos espaços.

A velocidade é uma razão entre um incremento de espaço ΔS por um incremento de tempo Δt, ou seja, a velocidade instantânea é o limite dessa razão quando o incremento de tempo tende a zero, ou seja, é a derivada da função horária do espaço. O mesmo vale para a aceleração instantânea sendo a derivada da função velocidade obtida através da função espaço.

Daí, para o MRUV, tem que:

s=s_0+v_0.t+(a.t^2)/2

s^'=v=v_0+a.t

Somatória R.A = a = 14m/s²

Vo = 10

So = 5

s=5+10.t+(14.t^2)/2

s'=0+1.10.1+(2.14.t^1)/2

v = 10+14t

2.2. Gráficos do Espaço x Tempo e Velocidade x Tempo

s=5+14.t+(14.t^2)/2

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5

Espaço (m) 5 26 61 110 173 250

s_0=5+14.0+(14.0^2)/2 s_0=5 s_1=5+14.1+(14.1^2)/2 s_1=26

s_2=5+14.2+(14.2^2)/2 s_2=61 s_3=5+14.3+(14.3^2)/2 s_3=110

s_4=5+14.4+(14.4^2)/2 s_4=173 s_5=5+14.5+(14.5^2)/2 s_4=250

∆S=S_(f-) S_i ∆S=250-5 ∆S=245 m

Velocidade x Tempo v = 10+14t

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5

Velocidade (m/s) 10 24 38 52 66 80

v_0 = 10+14.0 v_0 = 10 v_1 = 10+14.1 v_1 =24

v_2 = 10+14.2 〖 v〗_2 = 38 v_3 = 10+14.3 v_3 = 52

v_4 = 10+14.4 v_4 = 66 v_5 = 10+14.5 〖 v〗_2 = 80

∆V=V_(f-) V_i ∆V=80-10 ∆V=70m/s

Calculo área triangulo acima

A = (b . h)/2

A = (5.70)/2

A = ∆S = 175m²

2.3.