Atps De Calculo II

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1 (Pesquisar sobre constante de Euler)

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja: e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.

Existem inúmeros sites na internet que traz informações ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia.

Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas, séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.

No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los numa pilha. Sempre que era necessário material para as publicações da Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produção de Euler era superior às publicações, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica o fato de quando alguns artigos surgirem, extensões e melhorias dos mesmos já terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.

Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.

Inicialmente, o fundamento da utilização baseava-se em representar um número infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler apresentava ex = lim (1 + x/i) i onde, actualmente se escreve ex = lim (1 + x/n)n.

Mas somente após a opção, por parte de Gauss (1777 - 1856), do símbolo i no seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, é que se assegurou a sua utilização nas notações Matemáticas.

Após apresentação dos símbolos, cuja introdução e opção se devem a Euler, foi possível combinar os números e e i com o 0 e o 1 na mais célebre igualdade que contém os cinco números: e i + 1 = 0

Esta revela uma importante relação entre os mesmos. A Euler também é associada à introdução das seguintes notações:

A sexta constante mais importante da Matemática, a Constante de Euler.- O logaritmo de x, ln x;- O uso da letra  para a adição;- f(x) para uma função de x.

n

℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

1

2

5

2,48832

10

2,59374246

50

2,691588029

100

2,704813829

500

2,715568521

1000

2,716923932

5000

2,71801005

10000

2,718145927

100000

2,718268237

1000000

2,718280469

Passo2 (pesquisar sobre séries harmônicas)

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de