Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
Por: Shayana Carvalho • 27/9/2015 • Seminário • 1.881 Palavras (8 Páginas) • 378 Visualizações
ETAPA 1 [pic 3]
✓ Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
Passo 1
2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no Passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.
Na Europa a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes inovações. O cálculo abriu novas oportunidade na física e na matemática. Historicamente Isaac Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo, mas Gottfried Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje.” A notação de Leibniz” Foi desenvolvida por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes. O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura isso é encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí vem o nome integral definida. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto. Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss.
Passo 2
Desafio A
⎛ a3
3 3 ⎞[pic 4][pic 5]
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫ ⎜[pic 6][pic 7]
⎝
+ + ⎟ da ?
a3 a ⎠
(a)
F (a) = 12a4 − 3a + ln 3a + C
2[pic 8][pic 9][pic 10]
(b)
a 4 3
F (a) = − + 3 ln a + C[pic 11][pic 12]
12 2a2
4
(c)
F (a) = a + 2 − 3 ln a + C
12 3a2[pic 13][pic 14]
4 3 _ [pic 15][pic 16]
(d) F (a) = 12a
+ + ln a + C
2a[pic 17]
(e)
F (a) = a4 + 3 + 3ln a + C
2a2[pic 18][pic 19]
Desafio B
Supor que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de
U$ 10.000 e um custo marginal de
C′(q) = 1000 + 50q
dólares por pé, onde q é a
profundidade em pés. Sabendo que custo total para se perfurar q pés, é:
C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa
C(q) , o
Desafio C
No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu
exponencialmente. Seja
C(t)
a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o
número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para
...