Binômio de Newton

Binômio de Newton

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².

Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da anterior, ou seja, de .

Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.

Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais (n ≥ p), chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número n!/p!(n-P)! , que indicamos por (n¦p) (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

(n¦p)= n!/p!(n-P)! (n, p E IN e n ≥ p)

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

Cn,p = (n¦p)

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

(n¦n)= 1, (n¦1)= n e (n¦0)= 1

Exemplos:

(5¦3)= 5!/3!(5-3)! = 5!/3!2! = 10

(4¦1) = 4

(6¦6) = 1

(3¦0) = 1

(0¦0) = 1

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª) Se n, p, k E IN e p + k = n então (n¦p) = (n¦k)

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos:

1) (5¦3) = (5¦2) 2) (10¦6) = (10¦4) 3) (8¦1) = (8¦7)

2ª) Se n, p, k E IN e p ≥ p-1 ≥0 então (n¦(p-1)) + (n¦p) = ((n+1)¦p)

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

1) (2¦1) + (2¦2) = (3¦2)

2) (5¦2) + (5¦3) = (6¦3)

3) (7¦4) + (7¦5) = (8¦5)

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

Por exemplo, os números binomiais (3¦0), (3¦1),(3¦2),(3¦3) estão na linha 3 e os números binomiais (1¦1),(2¦1), (3¦1), (4¦1), ..., (n¦1), ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como(n¦0) = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como(n¦n) = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele

que está na