Calculo II

        FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE[pic 1]

                CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

        

                ASSUNTO: FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRAIS  IMPRÓPRIAS    

                                           

               PROFERSSOR: MARCOS AGUIAR        CÁLCULO  II

   1.  FORMAS INDETERMINADAS.

Quando tomarmos o limite do numerador e do denominador de um quociente e obtermos expressões da forma  [pic 2]  e [pic 3]  podemos usar a regra de L’Hôpital, que veremos a seguir

1.1  REGRA DE L’HÔPITAL

Sejam [pic 4] e [pic 5] diferenciáveis em um intervalo aberto [pic 6] contendo [pic 7], exceto possivelmente o próprio [pic 8]. Se [pic 9] tem a forma indeterminada  [pic 10]  ou [pic 11] em [pic 12] e se [pic 13] para  [pic 14], então

                     [pic 15]  desde que   [pic 16]

Exemplo:  Calcule o   [pic 17]

Nesse caso podemos aplicar a regra de L’Hôpital,

[pic 18]

Exercícios.

I. Ache o limite se existir

1.  [pic 19]                   2.  [pic 20]        3. [pic 21]        4. [pic 22]

5.  [pic 23]           6.  [pic 24]        7. [pic 25]         8. [pic 26]

9.  [pic 27]           10.  [pic 28]              11. [pic 29]          12. [pic 30]

13.  [pic 31]           14.  [pic 32]          15. [pic 33]          16. [pic 34]

17.  [pic 35]           18.  [pic 36]                 19. [pic 37]                       20. [pic 38]

21.  [pic 39]           22.  [pic 40]       23. [pic 41]          24. [pic 42]

25.  [pic 43]           26.  [pic 44]       27. [pic 45]          28. [pic 46]

29.  [pic 47]           30.  [pic 48]                      31. [pic 49]          32. [pic 50]

33. [pic 51]          34. [pic 52]        

2. OUTRAS FORMAS INDETERMINADAS

2.1. Indeterminações do tipo  [pic 53]

Neste caso usamos artifícios matemáticos para levar esta indeterminação à forma  [pic 54]  ou [pic 55]

[pic 56]   com [pic 57]

2.1.1  Diretrizes para investigar [pic 58] para o forma [pic 59]

1. Escrever  [pic 60] como

            [pic 61]  ou   [pic 62]

2. Aplicar a regra  L’Hôpital a forma indeterminada  [pic 63]  ou [pic 64]

Exemplo 1.:  Determinar o limite  [pic 65]

Solução:   [pic 66]

[pic 67]

1.    Indeterminações do tipo,

Forma  Indeterminada	Forma do limite   [pic 68]
[pic 69]	[pic 70]
[pic 71]	[pic 72]
[pic 73]	[pic 74]

Um método para estudar essas formas consiste em considerar,

   [pic 75]  e tomar o logaritmo natural em ambos os membros, obtendo,

    [pic 76]

Se a forma indeterminada é [pic 77]  ou   [pic 78] , então a forma indeterminada para  [pic 79] é  [pic 80], que pode ser facilmente resolvida pelos métodos anteriores. Da mesma forma, se [pic 81] tem a forma  [pic 82], então a forma indeterminada para  [pic 83] é [pic 84]. Segue - se que

 se [pic 85]  isto é,    [pic 86]