Definição de Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n)   é chamada uma equação diferencial de ordem n.
 

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

 
CLASSIFICAÇÃO

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
   
• EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
    

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y' = 2x	tem ordem 1 e grau 1
y"+x2(y')3 - 40y = 0	tem ordem 2 e grau 3
y"'+x2y3 = x.tanx	tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: [pic 1] = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

[pic 2]dy = 3 [pic 3] x2dx - 4 [pic 4]xdx + [pic 5]dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C  (solução geral)

 

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

    3 = -1 - 2 - 1 + C [pic 6]C = 7 [pic 7] y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, 

Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM

FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0                          (a0, a1 constantes)

Ex: y = [pic 8]

Então y' = [pic 9][pic 10]   e      y'' = [pic 11][pic 12]

Substituindo na equação dada: [pic 13]   ou   [pic 14]([pic 15]) = 0

 

[pic 16] [pic 17]0 para todo x, logo devemos ter [pic 18] = 0, que é uma equação do segundo grau na variável [pic 19], chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.

    A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes [pic 20]1 e [pic 21]2.

•  [pic 22]1, [pic 23]2 números reais e distintos [pic 24] C1[pic 25] e C2[pic 26] são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1[pic 27] + C2[pic 28]
• [pic 29]1 = [pic 30]2 = [pic 31] (números reais e iguais) [pic 32] a solução geral da EDO é y = C1[pic 33] + C2x[pic 34]
• [pic 35]1 = a + bi, [pic 36]2  = a - bi (complexos conjugados: a, b reais) [pic 37] a solução geral é y = C1[pic 38] + C2[pic 39]

 

Ex:    y'' - 2y' - 15y = 0