EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Definição: Chama-se equação diferencial à equação que possui as derivadas ou diferenciais de

uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis livres.

Exemplos:

a) = 3x −1

dx

dy

b) x

y e

dx

dy

dx

d y 5

2

2

− 7 +12 = 6

c) x

dx

dy

dx

d y

5 cos

3 4

2

2

 =











− 















d) xyz

y

z

x

x

z

= 3

∂

∂

−

∂

∂

Classificação: A equação será chamada de ordinária se as variáveis dependentes forem função de

uma única variável livre, caso contrário, serão chamadas de equações diferenciais parciais. As

equações dos exemplos a, b e c anteriores são equações diferenciais ordinárias e a equação do

exemplo d é uma equação diferencial parcial.

Ordem: Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada de maior ordem. As

equações a) e d) são de primeira ordem, já os exemplos b) e c) são de segunda ordem.

Grau: Grau é o maior expoente da derivada de maior ordem. As equações a, b e d são de primeiro

grau e o exemplo c é do terceiro grau.

Solução: É uma função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa

identidade. As soluções podem ser: solução geral, particular ou singular.

Chama-se solução geral à família de curvas integrais que verifica a equação diferencial e

possui constantes arbitrárias.

Chama-se solução particular de uma equação diferencial à solução obtida a partir da

solução geral impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão

dadas para o instante inicial, já as condições de contorno aparecem quando nas equações de

ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Por

exemplo: Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) 5y '' + y'= −6x , sujeita às condições

iniciais y(0) =2 e y’(0) = 3, ou resolver a EDO 5y '' + y'= −6x , sujeita às condições de contorno

y(0)=2 e y’(1)=3.

Chama-se solução singular de uma equação diferencial à envoltória1

da família de curvas

integrais.

Teorema da existência: A equação g(x, y)

dx

dy

= admite solução se:

• g(x,y) é contínua e unívoca em uma região D de pontos (x,y).

• ∂g ∂y existe e é contínua em todos os pontos de D.

____________________

1

Envoltória de uma família de curvas é a uma curva tangente a todas as curvas da família. 3

Exercícios:

1. Mostre, por substituição, que as seguintes funções são soluções das equações diferenciais

dadas:

a) 2x

y = e , "y −5 'y +6y = 0

b) 3x

y = e , "y −5 'y +6y = 0

c) 3x

2

2x

1 y = C e + C e , "y −5 'y +6y = 0

d) y Ax Bx 3 lnx x

2

= + − , x "y 2xy' 2y 3x

2

− + =

e) y = Ax + Bx ln x + 2 + ln x , y x

dx

dy

x

dx

d y

x ln

2

2

2

− + =

2. Determine uma equação diferencial