Equaçoes Diferenciais

4.5 Sistemas de Equações Diferenciais

Esta seção requer alguns conhecimentos de Cálculo 1. Seu objetivo é mostrar que, quando a matriz de um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é diagonalizável, então podemos expressar a solução geral desse sistema em termos dos autovalores e autovetores dessa matriz.

A modelagem de problemas na Física, na Engenharia, na Química e em outras áreas são freqüentemente expressos em termos de equações diferenciais. Embora o estudo das equações diferenciais seja uma disciplina à parte, nesta seção vamos estudar uma aplicação da diagonalização de matrizes na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.

Na Física, a posição de um ponto móvel ao longo de uma reta em um dado instante de tempo é dada por uma função horária s=s(t). A variação instantânea v(t)=\dfrac{ds}{dt} da posição do móvel é chamada velocidade (instantânea) e, por sua vez, a variação instantânea da velocidade a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^2s}{dt^2} é chamada aceleração.

Por exemplo, se s(t)=2-2t+3t^2 é a função horária de um móvel, então sua velocidade é v(t)=-2+6t, e sua aceleração é a(t)=6.

Se uma força variável F=F(t) age sobre o móvel em uma direção paralela à reta onde ele se move, então a Segunda Lei de Newton nos diz que

F(t)=m a(t)

onde m é a massa do ponto movel. Substituindo a aceleração, temos

F(t)=m \dfrac{d^2s}{dt^2}.

Quando a força F(t) é conhecida, mas a função horária não, então a equação

\dfrac{d^2s}{dt^2}=\dfrac{1}{m}F(t)

pede por uma função s=s(t) que a torne verdadeira. Nessa equação, a incógnita é uma função s=s(t), e seus termos envolvem também as derivadas de s até a segunda ordem. Por isso, a chamamos de equação diferencial de segunda ordem.

Exemplo 1. Digamos que a força seja F(t)=2t\,{\rm N}, o móvel pese 1\,{\rm kg}, esteja na origem e com velocidade 1\,{\rm m/s} no instante t=0. Nesse caso, sua função horária é s(t)=\dfrac{t^3}{3}+t, pois, derivando essa expressão duas vezes, temos \dfrac{d^2s}{dt^2}=2t=\dfrac{1}{m}F(t), ou seja, essa função é solução da equação diferencial. Pode-se mostrar que, com as condições impostas, essa solução é única.

Uma equação diferencial de ordem n juntamente com um conjunto de condições para a função e suas derivadas até ordem n-1 constitui o que chamamos de Problema de Valor Inicial, ou PVI. Pode-se mostar que, se um PVI possui solução, então sua solução é única. O exemplo 1 é um PVI.

Exemplo 2. A Lei de Hooke estabelece que a força elástica F_e de uma mola é proporcional à sua distensão x, na direção oposta a esta. Se uma massa m está presa a uma das extremidades de uma mola horizontal e pode se mover livremente, e a outra extremidade da mola está fixa, então F_e(t)=-kx(t), onde k é a constante elastica da mola.

Por outro lado, F_e é a única força atuando sobre o sistema, logo, pela Segunda Lei de Newton, F(t)=ma(t)=m\dfrac{d^2x}{dt^2}, devemos ter F(t)=F_e(t). Portanto,

m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx,

ou seja

\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x.

Essa equação diferencial de segunda ordem descreve completamente o movimento da massa presa à mola e, se forem dadas condições iniciais, podemos encontrar a função horária x=x(t) da massa. Assim, suponhamos que x(0)=0 seja a posição inicial e que v(0)=v_0 a velocidade inicial da massa, o que nos dá o PVI:

\left\{\begin{array}{l}\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x,\\\noalign{\medskip}x(0)=0,\\\noalign{\medskip}v(0)=v_0\end{array}\right..

Nesse caso, a função

x(t)=v_0\sqrt{\dfrac{m}{k}}\operatorname{sen}\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}t\right)

é a função posição do móvel, conforme pode ser verificado substituindo x(t) e sua segunda derivada no PVI.

Sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem

Nosso objetivo aqui não é fazermos uma revisão geral de equações diferenciais, mas apenas estudar o seguinte tipo de sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:

x'_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n

x'_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n

\vdots

x'_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n

cujas incógnitas são as funções deriváveis x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\ldots,x_n=x_n(t), e onde x'_1=\dfrac{dx_1}{dt}, x'_2=\dfrac{dx_2}{dt}, \ldots, x'_n=\dfrac{dx_n}{dt}.

Esse sistema pode ser escrito na forma matricial:

\left[\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right].

Definindo \mathbf{x}=\mathbf{x}(t)=(\ x_1(t),\ x_2(t),\ \ldots,\ x_n(t)\ ), e A=(a_{ij}), podemos escrever esse sistema de maneira mais sucinta como,

\mathbf{x}'=A\mathbf{x}.

Uma solução dessa equação é qualquer função vetorial \mathbf{x}=\mathbf{x}(t) que a torne verdadeira. É importante notarmos que \mathbf{x}(t)=\mathbf{0} é sempre uma solução, chamada solução trivial. Em geral essa equação possui uma infinidade de soluções, mas o PVI

\left\{\begin{array}{l} \mathbf{x}'=A\mathbf{x}\\ \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0 \end{array}\right.

possui uma única solução.

Exemplo 3. Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem:

\left[\begin{array}{c}x'_1\\x'_2\\x'_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right].

Solução: