Geometria Analítica II: Estudo das Cônicas

Unidade V – Geometria Analítica II: Estudo das Cônicas

1 – Situando a Temática

As cônicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astronomia,

sendo descritos na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetra grego. Mais tarde, Kepler e

Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos naturais como nas trajetórias de um

projétil ou de um planeta.

2 – Problematizando a Temática

Vimos nas seções anteriores, por exemplo, que a equação − + + = 2 5 8 0 x y representa

uma reta r no plano cartesiano. Do mesmo modo como fizemos com a reta r, vamos aqui associar

a cada cônica (circunferência, elipse, parábola e hipérbole) uma equação e, a partir daí, estudar

as suas propriedades.

3 – Conhecendo a Temática

3.1 – Circunferência

Sabemos da geometria elementar que circunferência é o conjunto de todos os pontos

eqüidistantes de um ponto fixo C a b = ( , ) denominado centro da circunferência.

Considerando o centro da circunferência como sendo o ponto C a b = ( , ) , r sendo o raio e

P x y = ( , ) um ponto da circunferência, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2

d C P x a y b r x a y b r , = − + − = ⇒ − + − = .

Portanto, uma circunferência de centro C a b = ( , ) e raio r tem equação

( ) ( ) 2 2 2

x a y b r − + − = , denominada Equação Reduzida da circunferência.

2 2

x y + = 4

Circunferência

de centro C=(0,0)

e raio 2.

( ) ( ) 2 2

x y − + − = 1 2 1

Circunferência

de centro C=(1,2)

e raio 1. 65

Desenvolvendo a equação reduzida ( ) ( ) 2 2 2

x a y b r − + − = temos:

2 2 2 2 2 x y ax by a b r + − − + + − = 2 2 0 . Esta equação é chamada equação geral da circunferência.

Exercício 1: Determine o centro e o raio da circunferência 2 2 x y x y + − − + = 4 8 19 0 .

Solução:

Da equação geral 2 2 x y x y + − − + = 4 8 19 0 , vamos encontrar a equação reduzida

( ) ( ) 2 2 2

x a y b r − + − = .

Vamos utilizar um processo conhecido como completamento de quadrados. Para isso,

lembramos que ( )2 2 2

x ax a x a − + = − 2 e ( )2 2 2 y bx b y b − + = − 2 .

Com base na equação 2 2 x y x y + − − + = 4 8 19 0 separamos os termos que envolvam as

variáveis x e y, da seguinte forma:

I) {

( )

( )

2

2

2 2 2

2 4 2

2

4

4 4 4 4 2 4

a

x

a

a

x x x x x

=

−

=

=

− = − + − = − −

14243 e II) {

( )

( )

2

2

2 2 2

2 8

4 4

16

8 8 16 16 4 16

b

b y

b

y y y y y

=

= −

=

− = − + − = − −

14243

Desta maneira, de (I) e (II) temos:

x

2

+ y2