Introdução Equações Diferenciais
Por: Gilson Ricardo Silva • 8/6/2023 • Trabalho acadêmico • 3.658 Palavras (15 Páginas) • 76 Visualizações
[pic 1]
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Dr. Bruno Wallacy Martins
- INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Definição.
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.
Exemplo 1. As seguintes equações são diferenciais envolvendo a função incógnita y.
(a) 𝑑𝑦 = 5𝑥 + 3
𝑑𝑥
- A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.
- Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.[pic 2]
A equação (a) é uma e.d.o. linear de primeira ordem, com 𝑎1(𝑥) = 1, 𝑎2(𝑥) = 0, 𝑔(𝑥) = 5𝑥 + 3. A equação
(c) é linear de terceira ordem, com 𝑎3(𝑥) = 4 , 𝑎2(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑎1(𝑥) = 0, 𝑎0(𝑥) = 5𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 0.
(b) 𝑒𝑦 𝑑2𝑦
[pic 3]
𝑑𝑦 2
[pic 4]
As equações diferenciais que não podem ser postas
𝑑𝑥2 + 2 (𝑑𝑥) = 1
sob a forma de (1) são chamadas de não-lineares. Por
(c) 4
𝑑3𝑦 + sin 𝑥
𝑑𝑥3[pic 5]
𝑑2𝑦 + 5𝑥𝑦 = 0
𝑑𝑥2[pic 6]
exemplo, as equações 𝑦𝑦′′ − 2𝑦′ = 𝑥 e 𝑑3𝑦 + 𝑦2 = 0 são
𝑑𝑥3[pic 7]
equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda e
(d)
(𝑑2𝑦)
𝑑𝑥2[pic 8][pic 9]
𝑑𝑦
+ 3𝑦 ( ) + 𝑦[pic 10][pic 11]
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2
( )[pic 12]
𝑑𝑥
= 5𝑥
terceira ordens, respectivamente. No Exemplo 1, (b) e (d) são não lineares.
(e) 𝜕2𝑦 − 4 𝜕2𝑦 = 0[pic 13][pic 14]
EXERCÍCIO I
𝜕𝑟2 𝜕𝑥2
Uma equação diferencial é chamada de ordinária (E.D.O.) se a função incógnita possui apenas uma variável independente.
No Exemplo 1, as equações de (a) a (d) são e.d.o’s, pois a função incógnita y depende apenas da variável x.
Uma equação diferencial é chamada de parcial
- Classifique cada equação diferencial segundo a ordem, o grau (quando possível) e a linearidade. Determinar a função incógnita e a variável independente.
a) 𝑦′′′ − 5𝑥𝑦′ = 𝑒𝑥 + 1.
- Terceira ordem: A derivada mais alta é a terceira. Primeiro grau: a terceira derivada está na primeira potência. Linear: 𝑎3(𝑥) = 1, 𝑎2(𝑥) = 0, 𝑎1(𝑥) = −5𝑥, 𝑎0(𝑥) = 0 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1.
(E.D.P.) se a função incógnita depende de mais de uma
b) 𝑡 𝑑2𝑦 + 𝑡2 𝑑𝑦 − sin 𝑡
[pic 15] [pic 16]
[pic 17]
𝑦 = 𝑡2 − 𝑡 + 1
variável independente. A equação (e) é uma e.d.p., pois
𝑑𝑡2
𝑑𝑡 √
depende das variáveis independentes r e x.
c) 𝑠2 𝑑2𝑡 + 𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠
𝑑𝑠2[pic 18][pic 19]
𝑑𝑠
Ordem e grau
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela comparece.
- Segunda ordem. Primeiro grau: a equação é um polinômio na função incógnita t e suas derivadas (com coeficientes em s), e a derivada segunda aparece em primeiro grau. Não-linear: 𝑎2(𝑠) = 𝑠2, 𝑎1(𝑠) = 𝑠𝑡. Função incógnita t; variável independente s.
No Exemplo 1, (a) é uma e.d.o. de primeira ordem; (b), (d) e (e) são de segunda ordem; (c) é uma e.d.o. de
𝑑4𝑏 5
5 (𝑑𝑝4)[pic 20][pic 21]
𝑑𝑏 10
+ 7 ( )[pic 22]
𝑑𝑝
+ 𝑏7
− 𝑏5
= 𝑝
terceira ordem.
O grau de equação diferencial, que pode ser escrito como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. A equação (d) é uma e.d.o. de grau 3, pois a derivada mais alta (a segunda, no caso) se acha elevada a potência três.
...