Matematica Aplicada

Relação entre limite, funções exponencial e o número de Euler

Quando falamos em função exponencial, nos referimos à algo do tipo:

f(x) = b ^ x

Sendo b, um número fixo, inteiro e positivo e x um número qualquer racional. Entretanto, poderemos encontrar algumas situações como do tipo:

f(x) = 3 ^ sqrt¹ (2)

¹ – sqrt é uma função muito utilizada na programação para calcular a raiz quadrara de um número.

A partir deste ponto, podemos aplicar os conceitos de limite, sendo sqrt(2) aproximadamente, igual a 1.41462...

Tomamos f(x) = 3^sqrt(2), como sendo uma base elevado a um número irracional, dentro de um limite ( sqrt(2)).

Demonstração:

f(x) = 3 ^ 1; f(x) = 3 ^ 1.4; f(x) = 3 ^ 1.41;

Aprofundando mais o assunto, podemos demonstrar de uma maneira mais eficiente a definição de limite.

I – Temos um gráfico da seguinte maneira :

fig.1 - Exemplo de limite

Podemos deduzir que em algum ponto + ∞ ou - ∞, nossas curvas possam chegar à um valor muito próximo de 0, mais nunca assumiram o próprio valor 0.

Um outro exemplo seria, ganhar uma determinada quantia de dinheiro em um sorteio : Suponha que você ganhou R$ 150,01. Se um amigo lhe perguntar, qual valor foi ganho, você responderá apenas os R$ 150 e o restante será ignorado. Porquê ? Simples, o restante ( R$ 1 centavo ) não mudará o valor bruto que você detém ( R$ 150 ), portanto pode ser ignorado.

Matemáticamente, podemos representar as ideias apresentadas da seguinte maneira:

lim x²+5x + 6 / x + 6 = 2² + 5.2 + 6 = 20 / 8

x->2

Ambos polinômios são diferentes de 0, portanto :

O limite será de 20/8. Isso quer dizer que nossas funções poderão assumir valores muito próximos de 20/8, mais nunca valor igual a 20/8.

O número de Euler (e), é um número irracional, tal como Pi, sqrt(2), et al.

Sua definição matemática é:

e = lim ( 1 + 1/n) ^ n E x → ∞

Analisando a tabela a seguir, demonstrarei que para x muito grande, y = ( 1 + 1 / x ) ^ x, se aproxima do valor de e.

x y

1 2

10 2.5937424601000...

100 2.70418138294215260932671947108075

1000 2.7169239322358924589245738308880219...

10000 2,7181459268252248640376646749131...