NÚMEROS COMPLEXOS - CONCEITO E FORMA ALGÉBRICA

NÚMEROS COMPLEXOS – CONCEITO E FORMA ALGÉBRICA

Joilson dos Reis Souza*

Leandro Ribeiro Fonseca**

Resumo

Muitos problemas relacionados a solução de raízes quadradas de números negativos foram resolvidos após a introdução dos números complexos. Este artigo abrange os conceitos envolvidos em números complexos desde as formas de representação gráfica até as operações matemáticas possíveis com esses números. Trata ainda como podemos utilizar os números complexos nas mais distintas área como computação gráfica, engenharia elétrica, geometria e aerodinâmica através de fórmulas, permitindo uma comparação com os métodos convencionais e comprovando que pode-se simplificar a resolução dos mais diversos problemas, principalmente em análise de circuitos elétricos em corrente alternada, através da utilização dos números complexos.

Palavra Chave: Números Complexos, Raízes Quadradas, Conceito, Engenharia Elétrica.

Abstract

Muitos problemas relacionados a solução de raízes quadradas de números negativos foram resolvidos após a invenção do número complexo. Este artigo relata os principais conceitos sobre esse tema, demonstrando as principais formas de representá-los, como executar operações matemáticas como soma, subtração e multiplicação e sua aplicação desde a computação gráfica e engenharia elétrica.

Palavra Chave: Números Complexos, Raízes Quadradas, Conceito, Engenharia Elétrica.

1. INTRODUÇÃO

O tema proposto para este trabalho tem a finalidade de apresentar ao leitor não apenas o conceito, mas sua aplicação no mundo da matemática.

Os números complexos são considerados uma grande ferramenta na resolução de diversos problemas no ramo da ciência e engenharia. Porém percebe-se que apenas o conceito é apresentado, deixando uma grande lacuna sobre onde pode ser utilizado determinando sua aplicabilidade.

Assim, propomos discorrer sobre o tema sem a pretensão de esgotá-lo, tendo em vista sua complexidade.

A beleza das aplicações dos números complexos remonta à sua representação gráfica e não somente ao formalismo e rigor das equações.

Na área da Aerodinâmica os números complexos foram utilizados por Joukowski (1906); em geometria, a aplicação dos números complexos, é na utilização dos conceitos de rotação de pontos em um eixo de sistema cartesiano por Maurits Cornelis Escher (1898-1972); na engenharia elétrica, utilizam-se os números complexos na forma polar, pois apresenta modulo e fase, como na representação fasorial.

A utilização dos números complexos vai além do imaginável, com isso, apresentamos nesse artigo não só o conceito, como sua aplicação e utilização na ciência e engenharia.

2. CONCEITO

O conjunto dos números complexos surgiu da necessidade inicial de conseguir uma solução para as raízes quadradas de números negativos já que os resultados obtidos não fazem parte do conjunto dos números reais. O conjunto dos números complexos é denotado por C. Formalmente, um numero complexo é um par ordenado (a,b) de números reais. (LIPSCHUTZ, 1994, p. 72).

Para a solução deste problema os matemáticos do século XVIII inventaram o número imaginário: , sendo que i representa o número imaginário. Rapidamente se percebeu que essas fórmulas, mesmo quando usadas para obter soluções reais, por vezes requeriam a manipulação de raízes quadradas de números negativos. (O’CONNOR; ROBERTSON, 2007).

Ainda definindo um número imaginário, podemos afirmar que:

(1)

Um número complexo pode ser representado na forma cartesiana, polar ou trigonométrica. Gauss sugere que os números a e b √(-1) são coordenadas de um ponto em um plano cartesiano, dessa forma, associa-se a cada um desses símbolos um ponto P do plano e reciprocamente possibilitou uma interpretação geométrica visível para a adição e multiplicação dos símbolos. Na forma cartesiana o eixo das ordenadas (y), representa o eixo imaginário, e o eixo das abcissas (x), representa um eixo real.

Figura 1- Forma Cartesiana

Fonte: Hambley (2009, p.468)

Para representar os números complexos no plano designamos que z = a + bi, onde “z” é um numero complexo formado por uma coordenada “a” no eixo real e uma quantidade “b” no eixo imaginário.

Segundo Albuquerque (2007, p.16): “Na forma polar, o segmento de reta oz = Z representa o modulo do numero complexo z e Φ (letra grega fi) representa o argumento (ângulo ou fase) de z tomando como referencia a parte positiva do eixo real”.

Figura 2 – Forma Polar

Fonte: Albuquerque (2007, p.16)

Lembrando que:

(2)

Onde:

Φ = ângulo formado pelo módulo de z com o eixo dos números reais;

arctg = valor que corresponde a divisão dos catetos oposto e adjacente e é correspondente a tangente desse ângulo.

b = valor correspondente no eixo imaginário.

a = valor correspondente no eixo real.

Segundo Anton e Busby, (2006, p. 578) “as formas polares de números complexos, fornecem uma interpretação geométrica da multiplicação e divisão”. Assim, podemos descrever que:

z = Z * (cos Φ + i sen Φ) (3)

Onde:

z