O CABO PARABÓLICO E CATENÁRIA

Cabo Parabólico

Suponhamos, agora que o cabo AB suporta uma carga uniformemente distribuída ao longo da horizontal. Cabos de pontes pênseis podem ser supostos carregados desse modo, uma vez que o peso dos cabos é pequeno comparado com o peso da pista de rodagem. Designemos por w a carga por unidade de comprimento medida horizontalmente e vamos expimi-la em N/m. Escolhendo eixos coordenados com a origem no ponto mais baixo C do cabo, encontramos que o valor W da carga total suportada pela porção do cabo compreendida entre C e o ponto D de coordenadas x e y é W=wx. As relações, que determinam o módulo e a direção da força de tração em D, tornam-se:

                     [pic 1][pic 2]

Além disso, a distância desde D até a linha de ação da resultante W é igual à metade da projeção horizontal da distância de C até D. Somando os momentos em relação a D, temos:

∑MD=0                              [pic 3]

E, calculando y:                                 [pic 4]

[pic 5]

Está é a equação de uma parábola com eixo vertical e vértice na origem das coordenadas. A curva formada por cabos uniformemente carregados ao longo da horizontal é, assim, uma parábola, onde cabos suspensos sob a ação de seu próprio peso não são uniformemente carregados ao longo da horizontal e, portanto, não formam uma parábola. No entanto, o erro introduzido em supor uma forma parabólica para uma cabo sob ação de seu próprio peso é pequeno quando a flecha é pequena em relação ao vão.

Quando os suportes A e B do cabo estão na mesma cota, a distância L entre os suportes é designada vão do cabo e a projeção vertical da distância h, desde os suportes até o ponto mais baixo, é denominado flecha. Se o vão e a flecha de um cabo são conhecidos e se a carga w por unidade de comprimento horizontal é dada, a tensão mínima T0 pode ser encontrada substituindo-se x=L/2 e y=h, longo as formulas determinarão a tração em qualquer ponto e a forma do cabo.

Quando os suportes estão colocados em alturas diferentes, a posição do ponto inferior do cabo pode não ser conhecida, e as coordenadas xA, yA e xB, yB dos suportes devem ser determinadas. Para isto, indicamos que as coordenadas de A e B satisfazem um equação para que xB – xA = L, yB – yA = d, onde L e d designam, respectivamente, as projeções horizontal e vertical da distância entre os dois suportes.

[pic 6]

O comprimento do cabo desde seu ponto inferior C até o apoio B pode ser obtido por meio da fórmula:

dx[pic 7]

Catenária

Consideremos, agora, um cabo AB que suporta uma carga uniformemente distribuída ao longo do próprio cabo. Cabos pendendo sob o próprios pesos são carregados dessa maneira. Designamos w a carga por unidade de comprimento (medida ao longo do cabo) e vamos exprimi-la em N/m. A intensidade W da carga total suportada por uma parte do cabo de comprimento s compreendida entre o ponto inferior C e o ponto D é W=ws. Substituindo W por esse valor na fórmula, obtemos a tração em D:

[pic 8]

Para simplificar os cálculos subsequentes, introduzimos a constante c=T0/w. Então escrevemos

T0 = wc                W = ws                [pic 9]

[pic 10]

O diagrama de corpo livre da parte CD do cabo, não pode ser usado para obter diretamente a equação da curva formada pelo cabo, uma vez que não conhecemos a distância de D até a linha de ação da resultante W da carga. Para obter essa equação, em primeiro lugar escrevemos que a projeção horizontal de um pequeno elemento de cabo, de comprimento ds, é dx = ds cos θ. Observando que cos θ = T0/T temos:

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