O EXERCICIO NA ENGENHARIA

5 – Cálculo dos coeficientes de Fourier da função  em , com relação ao conjunto ortonormal.[pic 1][pic 2]

Solução: Dizemos que a representação da função real de f(x)em série de Fourier quando ela se expressa na série.

Eq (1)

[pic 3]

Onde os coeficientes an e bn são os chamados coeficientes de Fourier. Sabe-se que a série de Fourier é a base ortonormal mais conveniente para representar funções num espaço vetoial de dimensão infinita.

[pic 4]

O problema solicita os coeficientes da série na parte par. Impar e em ambas. Vejamos, da Eq(1), manipulando a função e integrando de , chegaremos as seguintes relações:[pic 5]

A)	[pic 6]	Eq (2)
B)	[pic 7]	Eq (3)
C)	[pic 8]	Eq (4)

Para a solução deste problema, foi implemetando um código no scilab para resolução dos coeficientes e vizualiação gráfica das funções.

1. Coeficientes Ao e An.

Da Eq (2)

Têm-se que,

[pic 9]

Coeficientes [An]
A0	7,3521558

Da Eq (3)

Têm-se que,

[pic 10]

[pic 11]

Utilizando o Scilab, chega-se aps seguintes valores dos coeficientes  An:

Coeficientes [An]
A1	-3,6760779
A2	1,4704312
A3	-0.7352156
A4	0.4324798
A5	-0.2827752
A6	0.1987069
A7	-0.1470431
A8	0.1131101
A9	-0.0896604
A10	0.0727936
A11	-0.0602636
A12	0.0507045
A13	-0.043248
A14	0.0373206
A15	-0.0325317
A16	0.0286076
A17	-0.0253523
A18	0.022622
A19	-0.0203098
A20	0.0183346

A solução da função par desses termos saiem da equação:

[pic 12]

A função neste caso é par e sua solução é apresentada no gráfico abraixo:

[pic 13]

Figura 1: Termo Par junto de f(x)

1. Coeficientes Bn:

Têm-se que,

[pic 14]

[pic 15]

Coeficientes [Bn]
B1	3,6760779
B2	-2,9408623
B3	2,2056467
B4	-1,7299190
B5	1,4138761
B6	-1,1922415
B7	1,0293018
B8	-0.9048807
B9	0.8069439
B10	-0.7279362
B11	0.6628993
B12	-0.6084543
B13	0.5622237
B14	-0.5224882
B15	0.4879749
B16	-0.4577218
B17	0.4309884
B18	-0.4071963
B19	0.3858866
B20	-0.3666911

Utilizando o Scilab, chega-se aps seguintes valores dos coeficientes  Bn:

[pic 16]

A função neste caso é Impar e sua solução é apresentada no gráfico abraixo

[pic 17]

Figura 2: Termo Impar junto de f(x)

1. A projeção gráfica sobre o espaço gerado pelo conjunto ortonormal será dado pela função aproximada pela séria de Fourier no intervalo [-π,π] da forma:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Figura 3: Função aproximada de f(x)

O gráfico com as três analyses pode ser observado a seguir:

[pic 21]

Figura 4: Analise de todas as funções sobreposta junto a exponencial

ANEXO 1

CÓDIGO PARA APROXIMAÇÃO DE FOURIER – SCILAB 6.0.2 Console

function [Ao,An,Bn]=Compilar(f) //Comando que compila o código     L=%pi; // intervalo de integração     n=20; // Reter 20 termos para aproximação     clf();     Ao=(1/%pi*intg(-L,L,f,.000000001));// Coeficiente Ao     for i=1:n // função loop para rodar dados de 1 a 20         function b=f1(x,f)             b=f(x)*cos(i*x);         endfunction         function c=f2(x,f)             c=f(x)*sin(i*x);         endfunction         An(i)=(1/%pi*intg(-L,L,f1,.000000001));//Termo An relacionado aos coeficientes do cosseno         Bn(i)=(1/%pi*intg(-L,L,f2,.000000001));//Termo Bn relacionado aos coeficientes do cosseno     end     function Tn=solucao(x)//Solução geral da Serie de Fourier         Tn=Ao/2;         for i=1:n             Tn=Tn+An(i)*cos(i*x)+Bn(i)*sin(i*x);         end     endfunction         function Tn1=Spar(x)//Solução Par da Serie de Fourier         Tn1=Ao/2;         for i=1:n             Tn1=Tn1+An(i)*cos(i*x);         end     endfunction         function Tn2=Simpar(x)//Solução impar da Serie de Fourier         Tn2=0         for i=1:n             Tn2=Tn2+Bn(i)*sin(-0i*x);         end     endfunction     x=-%pi:0.03:%pi;     plot(x,solucao(x),"r-+",x,Spar(x),"b",x,Simpar(x),"g",x,f(x),"black")// função para plotar todos os graficos    legend(["y =Solucao(x)"; "y =Soluçãopar(x)";"y =Soluçãoimpar(x)";"y =f(x)"],5)     xtitle("APROXIMAÇÃO POR SERIE DE FOURIER NA FUNÇÃO EXP(X)","x","y")   endfunction deff('y=f(x)','y=exp(x)') function y=f(x),y=exp(x);endfunction x=-%pi:0.01:%pi; plot(x,[f(x)],'Blue') // Para ter acesso aos dados digite no console o seguinte comando"[Ao,An,Bn]=fourier(f)" --> [Ao,An,Bn]=Compilar(f)  Bn  =    3.6760779   -2.9408623    2.2056467   -1.729919    1.4138761   -1.1922415    1.0293018   -0.9048807    0.8069439   -0.7279362    0.6628993   -0.6084543    0.5622237   -0.5224882    0.4879749   -0.4577218    0.4309884   -0.4071963    0.3858866   -0.3666911  An  =   -3.6760779    1.4704312   -0.7352156    0.4324798   -0.2827752    0.1987069   -0.1470431    0.1131101   -0.0896604    0.0727936   -0.0602636    0.0507045   -0.043248    0.0373206   -0.0325317    0.0286076   -0.0253523    0.022622   -0.0203098    0.0183346  Ao  =    7.3521558