O conceito de continuidade de uma função e sua conexão com a noção de limite

ENGENHARIA CIVIL – 1º PERÍODO

Cálculo I

Capítulo 1: Limites.

“A mente que se abre a uma nova ideia ja-mais voltará ao seu tamanho original.

Albert Einstein

Prof.: Geraldo M. C. Batista

1 Introdução

Neste capítulo buscaremos conceituar o limite de uma função de ma-neira intuitiva, através de cálculos de valores da função num ponto. Poste-riormente discutiremos o conceito de limite de maneira mais formal. Em seguida será apresentado o conceito de continuidade de uma função e sua relação com o conceito de limite, bem como sua aplicação no Cálculo. Os conceitos que serão discutidos neste capítulo são de fundamental impor-tância para o entendimento do conceito de derivada que apresentaremos mais adiante.

2 Noção Intuitiva de Limite

Consideremos, inicialmente a função y = x2 + 4. O esboço do gráfico desta função está representado abaixo:

y

4

x

0

Observe que quando x tende para o 0 (zero) com valores menores do que 0, isto é, x  0 –, o valor de y tende para o valor 4, ou seja, y  4. Por outro lado (literalmente falando), quando x tende para o 0 (zero) com valo-res maiores do que 0, isto é, x  0 +, o valor de y novamente tende para o valor 4, y  4, como pode ser observado pelo gráfico da função. Anali-semos agora esta mesma situação de outro ponto de vista. Isto é, calculando os valores de y. As tabelas abaixo mostram os resultados para alguns valo-res de x. Primeiramente consideremos x  0 –:

x - 1,0 - 0,9 - 0,8 - 0,7 - 0,6 - 0,5 - 0,4 - 0,3 - 0,2 - 0,1

y 5,0 4,81 4,64 4,49 4,36 4,25 4,16 4,09 4,04 4,01

É fácil ver que se repetirmos os cálculos para valores superiores a 0, x  0 +, vamos obter os mesmos valor

x 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

y 5,0 4,81 4,64 4,49 4,36 4,25 4,16 4,09 4,04 4,01

Você pode verificar com cálculo direto que se tomarmos valores mais próximos de zero, por exemplo, x =  0,01, y torna-se mais próximo de 4. Dizemos então que o limite de y é 4, quando x tende para 0. Quanto mais próximo x estiver do zero mais próximo y estará do 4.

Vejamos agora o que acontece com a função: y = . Já sabemos que esta função não é definida para x = 0, porque devemos evitar divisão por zero. Porém o quê acontece se x cresce (em módulo) indefinidamente. Isto é, o quê acontece quando x tende para o infinito, x    ? O gráfico a seguir é um esboço da curva da função dada. Observando o gráfico vemos claramente que a função tende para 2 quando x cresce em valor absoluto:

y

2

x

Fica como sugestão de exercício que você construa as tabelas para

x   .

Nos dois exemplos vimos que quando x tendeu para um número pela direita (valores maiores do que o valor limite de x) ou pela esquerda (valo-res menores do que o valor limite de x), a função tendeu para o mesmo va-lor. Dizemos então que o limite lateral à direita é igual ao limite lateral à esquerda. Contudo nem sempre isto acontece. Veja por exemplo a função: y = . Analisando o gráfico desta função vimos que x  0 –, o valor da função tende para + , enquanto que quando x  0 +, y - .

É importante ressaltar que uma função pode ter limite definido num ponto, embora não ser definida neste ponto.

Definição de limite e Técnicas para Calcular

Seja y = f(x) uma função real de x, no intervalor aberto I, com a  I, e f(a) não necessariamente definida. Definimos o limite de f(x) quando x tende para como L, e representamos este limite como segue:

se   > 0,   > 0, tal que f(x) – L <  sempre que x – a < 

Assim, usando a notação apropriada, os exemplos acima podem ser escritos como segue:





 e

Propriedades de limites

P1 – O limite da soma é igual à soma dos limites

P2 – O limite de uma constante é igual à própria constante

, para c uma constante qualquer.

P3 – O limite de uma constante multiplicada por uma função é igual a constante multiplicada pelo limite da função

P4 – O limite de uma função qualquer é único.

Se e , então L1 = L2.

P5 – O limite do produto é igual ao produto do limite

P6 – O limite da razão é igual à razão do limite.

Exercícios

1 – Sejam f(x) = 2 + 3x2, g(x) = e h(x) = 2x3 + x + 1. Usando as propriedades de limites apresentadas na seção anterior, determine os limites a seguir

a) b) c) d)

e) f) g) h)

2 – Calcule os limites indicados

a) b) c)