Série harmônica

Introdução

O objetivo deste artigo é o de fazer uma apresentação simples da chamada série harmônica, que possui propriedades muito interessantes.

Um pouco de História As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, e a primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão 1/4, que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes.

Depois da ocorrência de uma série geométrica num trabalho de Arquimedes, as séries infinitas só voltaram a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde, no século XIV. Nessa época havia um grupo de matemáticos na Universidade de Oxford que estudava a cinemática, ou fenômeno do movimento; e, ao que parece, foi esse estudo que levou à reconsideração das séries infinitas.

Ao lado dos pesquisadores de Oxford, havia também pesquisadores em outros centros. Na Universidade de Paris, em particular, havia um professor chamado Nicole Oresme (1325-1382), um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento, como Filosofia, Matemática, Astronomia, Ciências Físicas e Naturais. Além de professor universitário, Oresme era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelou-se um homem de larga visão,

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recomendando medidas monetárias que tiveram grande sucesso na prática. Ao lado de tudo isso, Oresme foi também bispo de Lisieux.

Um dos trabalhos mais notáveis de Oresme sobre as séries infinitas está ligado à série harmônica.

Antes, porém, de falar da série harmônica, temos de explicar o que significa dizer que uma série é convergente ou divergente.

A idéia de “série infinita” aparece na Matemática quando imaginamos a operação de somar parcelas sucessivamente sem que essa operação termine após um número finito de parcelas somadas. Deixando de lado qualquer preocupação com a rigorização desse conceito, vamos examinar algumas séries infinitas simples. Por exemplo,

1

1 2

1 4

1 8

1 16

1 32

1 64 + + + + + + + 

Trata-se de uma progressão geométrica infinita de razão

1 2

e a soma

de seus termos é dada por S =

−

=

1

1

1 2

2.

Séries que têm soma finita são chamadas de séries convergentes. Mas é fácil imaginar séries que não sejam convergentes. Por exemplo, é claro que as séries

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . , 2 + 4 + 6 + 8 + . . ., 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2...,

não são convergentes; elas são ditas divergentes. Um exemplo menos

trivial de série divergente é dado por

1 2

2 3

3 4

4 51 + + + + + + +  n n . Para ver que essa série diverge, basta notar que todos os seus termos, a partir do segundo, são maiores do que 1/2.

A série harmônica A série harmônica é uma série muito simples, dada por

1

1

1 2

1 3

1 4

1 51 n

n

= + + + + +

=

∞ ∑ 

97

Como se vê, os termos da série harmônica estão decrescendo para zero. Mas será que, quando o termo geral de uma série tende a zero, ela converge? Se for assim — e à primeira vista parece que é —, então a série harmônica deve ser convergente.

Vamos investigar. Após a soma de um grande número de termos da série harmônica, quando chegarmos a n = 1020, n= 1030, n = 10100, etc., estaremos somando tão pouco que teremos a impressão de que a soma de todos os termos da série infinita realmente é um número finito. Aliás, hoje em dia, com a ajuda do computador, podemos até fazer cálculos experimentais interessantes.

Vamos supor que fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo de tempo. Como um ano tem aproximadamente

365,25 x 24 x 60 x 60 = 31 557 600 segundos, nesse período de tempo seríamos capazes de somar a série até n = 31 557 600, obtendo para a soma um valor pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos, a pouco mais de 22. Como se vê, somas parciais de termos da série harmônica jamais nos levariam a suspeitar que ela diverge. Pelo contrário, essas somas só nos levam a pensar que a série seja convergente. Isso, todavia, é falso! Embora surpreendente, esse resultado pode ser facilmente demonstrado. Para isso agrupamos os termos da série assim:

1

1 2

1 3

1 4

1 5

1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1 10

1 16

+++++

= + + + + + + + + + + +



 ( ) ( ) ( )

Observe agora que a soma dentro de cada parêntese é sempre maior do que 1/2. Veja:

1 3

1 4

1 4

1 4

1 2

1 5

...