Teorema de Papus

O Teorema do Centróide de Pappus 

Olá galerinha do LeGauss.

Vou provar hoje um teorema útil para calcular sólidos de rotação.

O teorema do centróide de Pappus diz que o volume gerado pela rotação de uma figura ao redor de um eixo (no mesmo plano que ela e que não a intercepta) é dado por:

[pic 1]

Onde [pic 2]é a distância do centróide da figura (o centro de massa) até o eixo de rotação e [pic 3]é a área da figura.

O centróide é dado pelas seguintes equações no caso 2-dimensional:

[pic 4]

Agora vamos a prova:

Inicialmente temos a seguinte situação:

[pic 5]

Vamos escolher de forma "malandra" que nosso segundo eixo passe pelo centro de massa. Repare que isso não resulta em nenhuma perda de generalidade:

[pic 6]

Agora, dividimos nossa figura em vários retangulozinhos de base [pic 7]e altura [pic 8].

[pic 9]

Note que o volume do nosso sólido de rotação vai ser a soma de todos os anéis que esses retângulos gerarão ao darem a volta no eixo.

Vamos chamar de [pic 10]o volume desses anéis, logo temos:

[pic 11]
Eu joguei fora no meio dessas contas um termo do tipo [pic 12], vendo isso da forma Leibniz de lidar com as coisas, esse cara é um infinitesimal de ordem superior e a integral dele continua sendo um infinitesimal. haha
Mas isso é facilmente formalizado usando séries infinitas, se quiser faça as contas aí. Além disso eu chamei [pic 13], caso alguém não tenha entendido.

Repare o que achamos então:

[pic 14]

Que é exatamente a fórmula que desejávamos.

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Teorema de Pappus para volúmenes

Un matemático griego que perteneció a la escuela de Alejandría (284-305), Pappos o Pappus, y que cultivó la matemática y la mecánica teórica estableció una relación entre centroides y sólidos de revolución, así como con superfecies de revolución.

Teorema de Pappus para volúmenes.

Sea una región plana R de área A, que se hace rotar alrededor de una línea recta que está en su plano pero pero que no intersecta la región ( a lo sumo es frontera de ella ). El volumen V del sólido de revolución generado es igual al producto del área por la distancia [pic 15]que recorre el centroide al girar.

Es decir [pic 16]A

[pic 17]

Demostración:

Supongamos que se hace rotar la región R dada alrededor del eje [pic 18]

Si el volumen se plantea por cortezas cilíndricas ( capítulo 3 lección 2) sería:

[pic 19]( 1 ) 

Por otra parte la abscisa [pic 20]del centroide es ( después de haber simplificado la densidad )

[pic 21]con lo cual [pic 22]( 2 ) 

Al remplazar de la ecuación (1) la integral en (2) se obtiene [pic 23]

Con lo cual [pic 24]distancia recorrida por el centroide [pic 25]Area de la región

Ejemplo 1: Encontrar el volumen obtenido al rotar la región limitada al rotar la elipse de ecuación

[pic 26]alrededor de la recta [pic 27]

[pic 28]

El centroide de la elipse se encuentra en el origen.Su distancia al eje de rotación es 2

El área de la región elíptica es [pic 29]. V=[pic 30] ( unidades cúbicas)

Ejemplo 2: Ahora la región es la misma pero la rotación es alrededor de la recta de ecuación [pic 31]

[pic 32]

Vale la pena recordar que la distancia de un punto de coordenadas [pic 33]a una recta de ecuación

[pic 34]es [pic 35]

La distancia del centroide [pic 36]al eje de rotación, está dada por [pic 37]

[pic 38]( unidades cúbicas)

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uinta-feira

O Elegante Teorema de Pappus 

[pic 39]Pappus de Alexandria (séc IV d.C.) foi um grande matemático grego sucessor de Euclides, Arquimedes (gênio matemático) e Apolônio, sua principal obra é a Coleção Matemática, uma mistura de guia da geometria da época, acompanhada de comentários, com numerosas proposições originais, aprimoramentos, extensões e notas históricas. No livro [pic 40], aparece uma antecipação do teorema do centróide de P. Guldin [pic 41]e é com esse teorema que iremos calcular o volume do donut´s do Homer Simpson.

Teorema: Girando-se uma região plana [pic 42]em torno de um eixo de seu plano, eixo esse que não corta a região, o volume do sólido de revolução assim formado é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região (Fig. abaixo), ou seja,

[pic 43]

[pic 44]Demonstração: A seção transversal do sólido de revolução é a região limitada pelas funções [pic 45]e [pic 46]no intervalo [pic 47]. Usando o método dos discos, o volume deste sólido o volume desse sólido é

[pic 48]

Por outro lado, o centróide da região [pic 49]é dado por

[pic 50]

Dessas duas expressões segue o resultado.

Exemplo: Usando o teorema de Pappus, achar o centróide de um semicírculo de raio [pic 51].

[pic 52]Resolução: A área do semicírculo é igual a [pic 53]e o volume do sólido gerado pela rotação de um semi-círculo de raio [pic 54]é o volume de uma esfera de raio [pic 55], isto é, [pic 56]. Usando a fórmula acima, segue que [pic 57].

O volume da rosquinha de Homer que aliás é um toro ou câmara de ar fica fácil com a fórmula deduzida acima. Supondo que a seção transversal é um círculo e que [pic 58]é o raio interno e [pic 59]é o raio externo da rosquinha, então seu volume é dado por