Trabalho Pesquisa Operacional

Trabalho de PO – Simplex / Solver

1. A Empresa de manufatura Ômega descontinuou a produção de uma determinada linha de produtos não lucrativa. Esse fato acabou criando um considerável excesso de capacidade produtiva. A direção está levando em conta a possibilidade de dedicar esse excesso de capacidade produtiva para um ou mais produtos. A estes vamos chamá-los de produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível nas máquinas que poderiam limitar a produção está sintetizada na tabela a seguir:

Tipo de Máquina Tempo Disponível

(Horas-máquinas por Semana)

Frisadora 500

Torno 350

Retificadora 150

Número de horas -máquinas Exigidas para cada unidade do respectivo produto.

Coeficiente de produtividade (horas-máquinas por unidade)

Tipo de Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3

Fresadora 9 3 5

Torno 5 4 0

Retificadora 3 0 2

O departamento de vendas sinaliza que o potencial de vendas para os produtos 1 e 2 excede a taxa de produção máxima e que o potencial de vendas para o produto 3 é de 20 unidades por semana. O lucro unitário seria, respectivamente, de US$ 25 para os produtos 1, 2 e 3. O objetivo é determinar quanto de cada produto a Ômega deveria produzir para maximizar os lucros.

Resolução:

a) Construção do modelo matemático

Função Objetivo

Max Z = 25x¹ + 25x² + 25x³

Variáveis de decisão

X¹ = qde do produto 1

X² = qde do produto 2

X³ = qde do produto 3

Restrições

9x¹ + 3x² + 5x³ ≤ 500

5x¹ + 4x² + 0x³ ≤ 350

3X¹+0+2 X³≤150

x3≤ 20

Restrições de não negatividade

X¹, X², X³ > 0

b) Resolução pelo método gráfico:

Não há Solução, pois existem 3 variáveis

c) Resolução pelo método Simplex:

1ª Iteração

Passo 1:

Introduzir variáveis de folga:

MaxZ = 25x1 + 25x2 + 25x3 + 0S1 + 0S2 + 0S3

9x1 + 3x2 + 5x3 + S1 = 500

5x1 + 4x2 + 0x3 + S2 = 350

3x1 + 0x2 + 2x3 + S3 = 150

Passo 2:

Montagem do quadro de cálculos:

Z = -25 – 25 – 25 = 0

Passo 3:

Escolha da solução básica inicial

Variáveis não básicas: X1=X2=X3=0

Variáveis básicas:

S1=500

S2=350

S3=150

S4=20

Z = 0

Passo 4:

Variável que deve entrar na base. Qual é o produto que mais contribui para o lucro?

X1

Passo 5

Variável que deve sair da base?

Dividir coluna “b” pela coluna x1:

Ao considerar X1 entrando e S3 saindo, temos:

Cálculos:

1ª Operação: Transformar o PIBOT em 1. Para isso, toda a linha 3 será dividida por 3:

L3/3:

Agora, será necessário transformar as demais linhas da coluna x1 em 0, para isso temos:

2ª Operação: multiplicar a 3ª linha por -9 e somar com a linha 1

3ª Operação: multiplicar a 3ª linha por -5 e somar com a linha 2

4ª Operação: para a 4ª linha não é necessário calcular, visto que o valor na coluna X1 já está zerado

5ª Operação: multiplicar a 3ª linha por 25 e somar com a linha 5

2ª Iteração

Com isso, já dividindo (1ª operação) a linha 1 por 3 (buscando o resultado 1 na 2ª coluna), temos:

2ª Operação: multiplicar a 1ª linha por -1 e somar com a 2ª linha

3ª Operação: antes de realizar a 3ª operação, vale ressaltar que as linhas 3 e 4 já estão zeradas, com isso a 3ª operação consiste em “zerar” a linha 5:

3ª Iteração:

Com isso, nota-se que a linha 4 e coluna 3 já está com o valor 1, com isso, prossegue o cálculo afim de “zerar” os demais valores da coluna X3:

1ª Operação: multiplicar a 4ª linha por 1/3 e somar com a 1ª linha:

2ª Operação: multiplicar a 4ª linha por 2 e somar com a 2ª linha:

3ª Operação: multiplicar a 4ª linha por -2/3 e somar com a 3ª linha:

4ª Operação: multiplicar a 4ª linha por 50/3 e somar com a 5ª linha: