Trens De Engrenagens Epicicloidais



Os trens de engrenagens epicicloidais ou trens de engrenagens planetárias (TEPs) são

sistemas de transmissão de alta complexidade cinemática e de difícil visualização. Entretanto,

são grandes as suas vantagens: compactos, leves, permitem altas reduções de velocidade,

possuem alta confiabilidade pois tem engrenamento permanente, possuem capacidade de

bifurcação e adição de potência e permitem múltiplas relações de transmissão. Sua principal

aplicação são as caixas de transmissão automática dos veículos modernos. Como existe uma

grande variedade de possibilidades de configurações na união de vários TEPs, o

estabelecimento de formas de representação do sistema em estudo é fundamental para sua

compreensão. Este trabalho tem como objetivo, apresentar as diversas formas de

representação adotadas por vários autores e mostrar as equivalências entre elas.

 !" : Trens de engrenagens planetárias, trens de engrenagens epicicloidais,

representação.

#$
%

Trem de engrenagem é uma cadeia cinemática destinada a transmitir rotações.

Segundo Pires e Albuquerque (1980), três montagens são possíveis: trem simples, trem

composto e trem epicicloidal. Trem simples é um sistema de engrenagens onde, em cada

eixo, só existe uma engrenagem (Figura 1a). O trem de engrenagem é chamado de composto,

quando existe um ou mais eixos com duas engrenagens ou mais (Figura 1b). Nestes dois

casos, o suporte dos eixos das engrenagens é fixo. Quando existe um suporte, de pelo menos

um eixo, dotado de movimento de rotação, o trem é chamado de epicicloidal. Na Figura 1(c),

os eixos que suportam as engrenagens intermediárias entre a engrenagem central e a externa

(esta última com dentes internos), estão montados em um suporte que gira em torno do eixo

central do conjunto. Essa possibilidade do eixo de uma engrenagem também poder girar ao

redor de outro eixo, além de girar em torno de si mesmo é que caracteriza um trem

epicicloidal. Essa nomenclatura se deve ao fato de um ponto, pertencente à engrenagem que

possui eixo móvel, descrever uma curva epicicloidal.

a) Trem simples b) Trem composto c) Trem epicicloidal

&# - Tipos de trens de engrenagens.

'$
 


( 

Devido a analogia com nosso sistema solar, este tipo de trem epicicloidal é

freqüentemente chamado de trem planetário ou trem de engrenagens planetárias ou

simplesmente TEP. Em virtude disso, a engrenagem central é chamada de solar e a., ou as

engrenagens que giram em torno dela, são chamadas de planetárias ou satélites ou

simplesmente planetas. Quase sempre se utiliza, também, uma engrenagem de dentes internos

em torno do TEP, onde os planetários também se engrenam. Esta é chamada de anular,

semelhante a um anel. O elemento que suporta o eixo móvel dos planetas e que pivota em

torno do eixo principal do TEP é chamado de suporte ou braço. A Figura 2 identifica estes

elementos.

&'!Nomenclatura dos elementos de um TEP.

Diversos autores definiram o que é um trem de engrenagens planetários Dubbel

(1944) escreveu que engrenagens planetárias simples se caracterizam porque, nelas, existe

uma roda fixa e outra móvel que gira ao redor da fixa e se engrena com ela.. Lima (1980)

salientou que alguns sistemas de engrenagens se diferenciam dos comuns, pelo fato de

possuírem uma ou mais engrenagens com possibilidade de girar ao redor do próprio eixo e,

simultaneamente, em torno de um outro eixo. Shigley (1984) escreveu que, em um tipo de

trem de engrenagens, pode-se obter efeitos surpreendentes, fazendo-se com que algum dos

eixos gire em relação aos demais. Tais trens chamam-se trens planetários ou epicicloidais.

Olson et al (1987) definiram que os trens de engrenagens planetários consistem de uma ou

mais engrenagens centrais com engrenagens planetas engrenadas e que giram em torno

delas, de tal forma que os pontos dos planetas descrevam curvas epicíclicas. Brasil (1988)

definiu os TEPs, como trens de engrenagens em que alguns eixos são móveis, girando não só

em torno de si mesmos, mas também em torno de outro eixo do trem. As engrenagens

planetas estão ligadas por um braço de tal forma que a distância entre os centros das

engrenagens permaneça constante.

1RPH (TXLYDOHQWH

Trem de engrenagem

planetária

Trem de engrenagem

epicicloidal

Engrenagem solar Sol

Engrenagem anular Coroa

Engrenagem planetária Planetário, planeta ou satélite

Braço Suporte

Engrenagem

anular

Suporte

ou braço

Eixo principal

Engrenagens

planetárias

Os TEPs são sistemas de transmissão de alta complexidade cinemática e de difícil

visualização. Entretanto, suas vantagens são grandes: compactos, leves, alta redução de

velocidade, alta confiabilidade, alta densidade de potência, capacidade de bifurcação e adição

de potência, capacidade diferencial, sistemas de múltiplas relações de transmissão e

engrenamento permanente, permitindo ainda a minimização dos esforços nos mancais e

alinhamento dos eixos. Estas são algumas das características que tornam os TEPs sistemas

de grande potencial de aplicações, embora ainda não tanto estudado e pesquisado, de tal

forma a permitir cada vez mais sua utilização em massa (Dedini, 1985).

Suas vantagens os tornaram preferíveis para o uso militar, onde múltiplos

engrenamentos reduzem o risco de parada. O funcionamento suave também os tornam

adequados para uso em submarinos e a grande capacidade de redução torna possível sua

aplicação em turbinas. Os TEPs também são utilizados em aplicações aeroespaciais e em

helicópteros, além do uso automotivo como diferencial e caixa de transmissão automática. Os

TEPs são mecanismos interessantes porque tem dois graus de liberdade.

Pode-se aumentar a complexidade do TEP, alterando-se o arranjo da configuração das

engrenagens planetárias. A introdução de uma engrenagem intermediária entre o planeta e a

engrenagem central resulta na inversão do sentido de rotação do membro de saída e, portanto,

interfere no caráter cinemático do trem planetário. Estas duas engrenagens planetárias não

necessariamente podem estar alinhadas radialmente, como mostra a vista frontal da Figura

3(a). Quando se utiliza três planetários emparelhados, não é alterado o sentido de rotação.

Estes tipos são chamados de TEP com )*". Além disso, pode ocorrer

ainda de o TEP possuir pelo menos dois planetas solidários em um único eixo. São chamados

de TEP com )* ) (Figura 3 b). E é possível ainda, um TEP possuir

simultaneamente planetários emparelhados e compostos (Figura 3 c).

a) Planetário emparelhado b) Planetário composto c) Planetário composto

e emparelhado

&+ - Arranjos possíveis dos planetas nos TEPs.

Um TEP pode também possuir mais de um planeta entre as duas engrenagens centrais.

Isso não muda o caráter cinemático do TEP. Um aumento do número de engrenagens

planetárias resulta em uma maior divisão da carga transmitida entre os planetas. Essa é uma

das grandes vantagens dos TEPs, onde o esforço nos mancais é bastante aliviado devido à

simetria da aplicação da força pelos planetas, nos dentes da engrenagem solar. Portanto,

deve-se sempre evitar a utilização de um único planetário porque, neste caso, não seria

possível a compensação dos esforços. Na prática, normalmente se utilizam dois ou três

planetas.

Uma importante classe de trens de engrenagens epicicloidais são os que possuem

engrenagens cônicas (Figura 4 a). Somente com a utilização desse tipo de engrenagem é que

se permite utilizar uma engrenagem solar com o mesmo número de dentes da engrenagem

anular (Figura 4 b), o que seria impossível se todas fossem cilíndricas. A Figura 4(c) mostra

como se transforma um TEP que possui somente engrenagens cilíndricas em um TEP com

engrenagens cônicas, fazendo-se a inclinação do eixo que suporta os planetas. O uso de

engrenagens cônicas não muda o caráter cinemático do planetário e a grande aplicação dessa

montagem são os diferenciais automotivos. Este presente trabalho se restringe ao estudo de

TEPs com engrenagens cilíndricas.

&, - TEPs com engrenagens cônicas.

+$






(

Lévai (1968), identificou em seu trabalho, quatro tipos de TEPs: 1) TEP Elementar; 2)

TEP Simples; 3) TEP Ligado (TEP Incorporado) e 4) TEP Satélite e Planeta. Os tipos 2, e 3

são os mais importantes na prática.

+-#!


):

São aqueles que possuem apenas uma engrenagem central. Entende-se por

engrenagem central aquela cujo eixo de rotação é o eixo principal do TEP. Assim, a

engrenagem solar e anular são engrenagens centrais, conforme mostra a Figura 5.

&. - Exemplos de TEP elementar.

+-'


:

São aqueles que possuem duas engrenagens centrais, um ou mais planetas e um

suporte. A alteração da quantidade de engrenagens planetárias não interfere seu

enquadramento como TEP simples. A utilização de um número maior de planetas contribui

para uma maior e melhor distribuição das cargas atuantes. Este tipo também é chamado de

TEP básico.

a) Trem epicicloidal cônico b) Trem epicicloidal

cônico de topo

c) Transformação de um TEP

cilíndrico em cônico

Suporte SuportePlaneta

Solar

Suporte

Anular

Planeta Planeta

Suporte

Anular

&/! Exemplos de TEP simples com 1 e 3 planetas.

+-+!




&

Os TEPs ligados se caracterizam pelo fato de que possuem mais de duas engrenagens

centrais e podem ser separados em dois ou mais planetários simples. A separação de um TEP

ligado não será muito óbvia se existir um incorporamento entre planetas e, neste caso, o TEP

é classificado como incorporado. Trata-se portanto, de um caso particular do TEP ligado. A

nomeclatura utilizada na Figura 7 é: P para engrenagens de dentes externos (positivo), N para

engrenagens de dentes internos (negativo) e a letra entre parêntesis refere-se a planetas.

&0 - Exemplo de TEP ligado.

+-,!


)1)

)

Um TEP é classificado como satélite e planeta quando um TEP secundário é

introduzido no eixo do planetário do TEP primário, conforme mostra a Figura 8.

&2 - Exemplo de TEP satélite e planeta.

,$







Como existe uma grande variedade de possibilidades de configurações de TEPs,

torna-se necessário estabelecer formas de representação, para se definir e identificar o sistema

em estudo. Diversas formas de representação de sua topologia já foram desenvolvidas.

Basicamente existem três tipos de representação: funcional, esquemática e por grafo. A

representação funcional pode ainda ser apresentada na forma tridimensional, em corte ou

convencional. A representação esquemática pode ser apresentada sob a forma de esquema

para definir um TEP e sob a forma de diagrama esquemático de blocos para definir as

ligações entre vários TEPs. A representação por Grafo, mais recentemente utilizada para

representar os TEPs, tem a vantagem de facilitar a utilização de computadores para a solução

de problemas relativos a este mecanismo. Para solucionar dificuldades de isomorfismo

identificadas na representação por grafo originariamente proposta, foi apresentada uma nova

forma de representação por grafo, além da forma canônica. Cada uma destas formas de

representação serão tratadas nos próximos itens. A Figura 9 ilustra as formas de

representação disponíveis com os respectivos exemplos.

Tipo P(PP)P + Tipo P(P)N

a’a’ cc c’c’

&3! Formas de representação dos TEPs.

,-#!)45

A representação funcional foi a primeira a ser empregada para identificar um TEP.

Sua vantagem é que há paridade entre o modelo e a representação. Ela pode ser apresentada

sob a forma convencional (croqui), em corte e tridimensional. A Figura 13 mostra as três

formas de representação funcional de um mesmo TEP, onde as engrenagens são

representadas pelos seus círculos primitivos que indicam em que pontos elas se tocam.

Devido a simetria dos mecanismos planetários, é usual a representação de apenas metade do

mecanismo. A representação funcional do TEP é feita incluindo a carcaça ou apoio do

mecanismo. Quando não se inclui a carcaça ou apoio, obtêm-se a estrutura cinemática.

(a) Convencional (b) Em corte (c) Tridimensional

&#6 - Representação funcional de um TEP.

,-'!)457

Há duas formas distintas de representação esquemática de trens de engrenagens

planetárias: através de um esquema ou através de um diagrama de blocos. A primeira forma

tem por finalidade identificar sua estrutura cinemática e a segunda tem por objetivo o estudo

cinemático e do fluxo de potência em um sistema de vários TEPs ligados. A seguir, será

detalhado a metodologia de cada uma destas formas de representação.

   

 

  (VTXHPiWLFD

*UDIR

)XQF LRQD O

Convencional

Corte

Tridimensional

Esquemática

Blocos

Convencional

Nova

Canônica

I

II F

P1

AB12

P2S1 D

S1

AB12

S2

A21B

P2

P1

P1 P2 P3

b c d

S1

P1 AS12

BB12

P2

C* C*P1 BB12

P2

AS12

C*

C*=Carcaça

S1

AS12

P2

,-'-#!)457*)

A forma de representação esquemática de um TEP foi publicada em 1969 por

Buchsbaum e Freudenstein (1970) para identificar sua estrutura cinemática. Um vértice,

representado por um círculo branco, significa um suporte de um eixo ou o próprio eixo. Um

vértice, representado por um círculo preto, significa que há um engrenamento. Assim, cada

elemento (conjunto de engrenagens e/ou eixos que sejam solidários entre si) do TEP forma

um polígono hachuriado cujo número de vértices dependerá do número de vínculos

(engrenamentos, apoios, eixos) deste elemento. O menor número de vínculos que um

elemento isoladamente pode ter é dois (exemplo: uma engrenagem tem o vínculo do

engrenamento e o apoio em torno de um eixo). Neste caso, o polígono sombreado se reduz a

uma linha que une os dois vértices - um branco e o outro preto. Uma engrenagem bí-apoiada

ou um eixo trí-apoiado será representado por um polígono de três vértices (um engrenamento

e dois apoios ou os três apoios). Três engrenagens solidárias com um furo central para o eixo

será representada por um polígono de quatro vértices. A Figura 11 mostra um exemplo.

É importante salientar que a soma do número de áreas sombreadas e das linhas

isoladas representa o número de elementos do trem epicicloidal, aí incluído a carcaça ou

apoio. O TEP da figura tem 6 elementos. A representação esquemática conta com 5 áreas

sombreadas e mais um segmento que representa a engrenagem solar S1 com o vínculo do

engrenamento (círculo preto) na planetária P1 e um vínculo de apoio e pivotamento na

carcaça C* (círculo branco).

&## - Representação funcional em corte e esquemática do mesmo TEP.

,-'-'!)457*)&8

Macmillan (1961) propôs uma forma de representação para o estudo do fluxo de

potência em mecanismos diferenciais. Sanger, em seu trabalho de 1972, sobre síntese de

TEPs, utilizou esta forma de representação em um sistema de vários planetários conectados

entre si. Este tipo de montagem é bastante utilizada em sistemas de transmissão de múltiplas

velocidades. O elemento básico é o TEP simples, com dois graus de liberdade, que pode estar

acoplado com outros TEPs. As conecções externas do TEP podem ser usadas como entrada,

saída ou membro de controle. Portanto, para uma representação esquemática por diagrama de

blocos é necessário se conhecer o número de TEPs e suas respectivas conecções. Os TEPs

são representados por blocos e as conecções por círculos, conforme demonstra a Figura 12.

&#' - Representação de dois TEPs ligados e suas conecções.

P1

BB12

P2

AS12

S1

Carcaça

P1 BB12

P2

AS12

S1

C*

C*=Carcaça







 

 

  

 

I

II

,-+!)459

Segundo Wilson et al (1990), um grafo é um diagrama que consiste de pontos

chamados vértices, unidos por linhas chamadas bordas, de tal forma que cada borda une dois

vértices. A teoria de representação por grafo tem uma ampla faixa de aplicação, desde

estudos sobre sistemas flexíveis de manufatura, gerenciamento da produção, tráfego urbano

e até a representação de mecanismos. A representação por grafo tem sido usada como modelo

de mecanismos desde 1960 (Olson et al.). Sua utilização tem a vantagem de facilitar o uso de

computadores e sua principal característica é que há uma correspondência paritária entre os

vértices e os elementos do TEP e as bordas com as ligações entre os elementos. O grafo

também pode ser apresentado sob a forma de matriz, de onde se pode utilizar técnicas

algébricas para a análise do TEP.

,-+-#!)45 9

A representação convencional por grafo de um TEP é feita da seguinte forma: 1) Cada

elemento é representado por um vértice. Engrenagens distintas mas solidárias são

representadas por um único vértice ou seja, trata-se de um único elemento. Idem para uma

engrenagem solidária com um eixo. O braço também é considerado um elemento assim

como as engrenagens. Elementos fixos são representados por um círculo em torno do vértice.

2) As bordas ou lados tracejados representam um engrenamento entre dois elementos. São

chamadas de “bordas de engrenamento” .3) Uma borda ou lado de linha contínua indica que

um elemento gira ou pivota sobre o outro. Este lado é chamado de “ borda de revolução”.

4) Cada borda e cada vértice é denominado com o respectivo símbolo utilizado nas demais

formas de representação.

Esta representação é comumente chamada de bicolor em função da necessidade de

distinguir a diferença entre uma ligação de elementos através de engrenamento ou

pivotamento. Para ilustrar este tipo, têm-se na Figura 13 a representação funcional

convencional e a respectiva representação por grafo. Alguns autores utilizam bordas

contínuas para ambos os casos, diferenciando-as pela espessura da linha.

&#+ - Representação por grafo.

Entretanto, a representação por grafo convencional pode resultar em que o mesmo

TEP possa ter mais do que uma representação (Hsu - 1992). Segundo Hsieh (1987), quando

existe três ou mais elementos coaxiais em um TEP, pode-se fazer um rearranjo nos elementos

coaxiais sem afetar e alterar a funcionabilidade do mecanismo. Isto pode resultar em um

problema de isomorfismo. Dois grafos são ditos isomórficos se existe uma correspondência

biunívoca entre seus vértices e bordas. Para os TEPs, dois grafos não isomórficos ou distintos

podem representar mecanismos cinematicamente equivalentes. Tais grafos são chamados de

pseudoisomórficos.

S1

A1

FE

D

P1

B1

P2

S2

A2

B2 F

E

P1

A12B

P2

S2

AB21

S1

D

D

D

Para superar esta dificuldade, foi então proposta uma nova forma de representação por

grafo, abordada no item seguinte.

,-+-'$ )459

Diversos autores (Olson et al., Yan and Hsu) publicaram, após 1987, uma nova

proposta de representação de TEPs por grafo, sem os inconvenientes verificados em sua

forma convencional. Nesta nova representação, um TEP com “n” elementos é identificado

por um grafo completo com “n” vértices. A diferença é que, além de vértices, bordas de

engrenamento (linha tracejada) e bordas de revolução (linhas contínuas) ainda se tem um

polígono sólido. Por esta proposta, um único grafo da Figura 17 representa o TEP mostrado

na Figura 16.

Considerando que os elementos que giram em torno de um mesmo eixo estão em um

mesmo nível, Hsu propõe uma nova forma de representação de TEPs por grafo, onde estes

elementos de mesmo nível formam um polígono sólido.

&#, - Nova representação por grafo do TEP da Figura 13.

,-+-'-#$)45:);

A matriz

 é a fundamental e completa representação de um grafo. Existem

diferentes tipos de matriz que caracterizam um grafo. Um exemplo é a matriz

 de

elemento-a-elemento ou um-para-um. Esta matriz, para representar um TEP de “”

elementos, é definida como uma matriz de X  cujos elementos são dados por
LM = 1 se o

elemento é adjacente com e, caso contrário,
LM = 0 (inclusive
LL = 0).

Para a nova representação por grafo com  vértices, a matriz

 A pode ser

definida como uma matriz simétrica de ordem  em que o elemento
LM = 1 se o vértice é

adjacente ao vértice  por uma borda de revolução (linha cheia),
LM = 2 se é adjacente ao

vértice , unidos por uma borda de engrenamento (linha tracejada),
LM =

se o vértice é

adjacente ao vértice  com um polígono sólido com

vértices e
LM = 0 se os vértices não são

adjacentes. Ainda se tem
LL = 0. Por exemplo, a Figura 14 apresenta um grafo com 6 vértices,

bicolorido e com um polígono sólido de 4 vértices. A correspondente matriz de conectividade

utilizando a seguinte ordem dos elementos (P1, P2, S1, S2, A1B2 e A2B1) é:

S1

AB12

S2

A21B

P2

P1

002210

001022

210444

204044

124404

024440

= (1)

,-+$)45<9

Para evitar o problema já relatado na seção 4.3.1 do pseudoisomorfismo na

representação convencional por grafo, diversos autores (Tsai-1988, Chatterjee-1995)

propuseram uma outra alternativa em função da existência de pelo menos três elementos

coaxiais: a representação canônica por grafo. Nesta representação, há uma distinção entre as

bordas e os vértices que são divididos em vários níveis. No primeiro nível, ficam as

representações das engrenagens solar e anular e o braço. No segundo nível, ficam os planetas.

Abaixo de todos está o nível base, que representa o eixo comum do conjunto. A Figura 15(b)

mostra um exemplo de representação canônica por grafo do TEP da Figura 15(a).

A representação canônica por grafo tem sua aplicação típica na ilustração de “caixa de

transmissão epicicloidal” conhecidas também por “ caixa de transmissão automática”

utilizada amplamente em automóveis. Estes sistemas normalmente trabalham com um único

eixo comum, apoiado em uma carcaça por rolamentos. A taxa de redução do conjunto é a

relação entre a rotação do eixo de saída e a rotação do eixo de entrada. Com a utilização de

freios e embreagens, várias taxas de redução são obtidas.

&#. - (a) Representação funcional e (b) respectiva representação canônica por grafo.

.$=:



 

Na Figura 16, é apresentado um exemplo das diversas representações de um sistema

de transmissão chamado “caixa Wilson” de 4 velocidades. Trata-se de uma série de quatro

TEPs ligados entre si com 10 elementos e uma carcaça. Pela representação por diagrama de

blocos, pode-se observar que há duas ligações diretas a um TEP (S1 e A4) , três conecções

unindo duas saídas (B1A2 , S2S3 , B3B4 ) e uma conecção unindo quatro saídas o que resulta

em um sistema com dois graus de liberdade. Para utilização deste sistema como transmissão,

é necessário atuar nos membros de controle de tal forma que resulte em grau de liberdade

igual a 1. Aplicando-se um freio de cada vez, obtêm-se este resultado, alterando a relação de

transmissão, sem necessidade de que haja desengrenamentos dos elementos.

A1

S2

a

A3

S1

2º nível: planetas

1º nível: solar,

anular e braço

nível base: eixo

do TEP

0

B1

A3

P1 P2 P3

a

d

a a a a

&#/ - Formas de representação da caixa Wilson de 4 velocidades.

Em b r e a g e m

3ª 2ª 1ª Ré

4ª (direta)

Tambores de

aplicação dos

freios de cinta

Carcaça

ou apoio

Carcaça

ou apoio

Saída para

o diferenc ial

Entrada

ré

Freio de cinta

Embreagem

1a

2a

3a

4a

entrada saída

A - anular

B - Braço

S - solar

P - planetab d

a

a

c

S1

S3S2

P2 P3

P4

P1B1

B3 B4

B2

A2A1 A3 A4

Ia,b,c,d,e = eixos

Ie

S4

ApoioApoio

ré

entrada

saída

1a3a

4a

2a

ABAS12 34

P1

S1

SS32

P2

BB43

A4

P3

Carcaç a

1ª

2ª

4ª : unindo S S a S 23 1

entrada

saída

% 

6

6

6

$

%

$ $ 

%

I

II

III

IV

6 

$ % 

ré

3ª

S23S

S1 P1

A1234BAS

P2

P4

A4B34B

P3

Carcaça

S23S

S1

P1

A1234BAS

B12A

P2

P4

P3

&DUFDoD

2º nível: planetas

1º nível: solar,

anular e braço

nível base: eixo

do TEP

0

P1

S1 A4

P2 P3

a a a a

P4

B34B

a

/$

%

Neste trabalho foi apresentada diversas formas de representação dos TEPs adotadas

por vários autores mostrando, através do exemplo de aplicação da caixa Wilson, como

construí-las. Para os pesquisadores de sistemas automáticos de transmissão, esse trabalho

objetiva ser uma fonte de consulta, por condensar, em um único texto, várias formas de

representação disponíveis.

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