VIBRAÇÃO TRANSVERSAL DE UMA CORDA
Por: jhaidan42 • 8/12/2018 • Trabalho acadêmico • 3.622 Palavras (15 Páginas) • 127 Visualizações
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Bacharelado em Engenharia Mecânica
VIBRAÇÃO TRANSVERSAL DE UMA CORDA
Discentes:
Marcus Vinicius Ribeiro Matias Júnior
Jhaidan Ribeiro Cruz
Marisa Soares Da Conceição Santos
Danrley Nunes Montalvão
Pedro Victor Valente Libório
Prof. Eng. Dr. Abdon Tapia Tadeo
Cruz das Almas- Bahia
2018
1 DESENHO DA CORDA
Considerou-se, o formato de uma corda como na figura 1, onde mostra em vista isométrica.
[pic 1]
Figura 1.1 - A corda com as dimensões
[pic 2]
Figura 1.2 - Seção transversal da corda
Descrição da corda:
Material: Nylon
(Carga aplicada)[pic 3]
(Módulo de Elasticidade do Material)[pic 4]
(Massa específica linear)[pic 5]
(Comprimento)[pic 6]
(Diâmetro)[pic 7]
2 CONDIÇÕES DE CONTORNO CONSIDERADAS
[pic 8]
Figura 1.2 - Condições de contorno consideradas
3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA CORDA
Considere uma corda ou cabo elástico firmemente esticado, de comprimento , sujeito a uma força transversal por unidade de comprimento, como mostra a Figura 3.1. Considera-se que o deslocamento transversal da corda, , é pequeno. [pic 9][pic 10][pic 11]
[pic 12]
Figura 3.1 - Uma corda vibrante
O equilíbrio de forças pode ser analisado num elemento infinitesimal da corda (Figura 3.2). Aplicando a Segunda Lei de Newton na Figura 3.2, é possível encontrar a força líquida que age sobre um elemento.
[pic 13]
Figura 3.2 – Elemento infinitesimal da corda
[pic 14]
Sendo é a massa do elemento e é a aceleração:[pic 15][pic 16]
[pic 17]
Aplicando a segunda lei de newton na Figura 3.2, temos:
[pic 18]
A Equação (E1), é a equação de movimento do sistema. Onde é a tensão, é a massa por unidade de comprimento e é o ângulo que a corda defletida faz com o eixo . [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
Para um comprimento elementar [pic 23]
[pic 24]
Para um comprimento infinitesimal de corda , a vibração é muito pequena e o ângulo tende pra zero, desta forma:[pic 25]
[pic 26]
Uma vez que quando , e a equação é verdadeira e.[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
[pic 32]
Substituindo na Equação E1, temos:
[pic 33]
[pic 34][pic 35]
[pic 36]
Substituindo a relação: , temos:[pic 37]
[pic 38]
Sendo infinitesimal, , logo:[pic 39][pic 40]
[pic 41]
Nota-se que o termo entre parênteses é consequência da regra do produto . Substituindo, temos:[pic 42]
[pic 43]
Sendo . Como a tensão P é constante e a corda é uniforme, temos:[pic 44]
[pic 45]
Para uma vibração livre, temos [pic 46]
[pic 47]
Fazendo e substituindo, temos:[pic 48]
[pic 49]
A também é chamada de equação de onda.[pic 50]
Substituindo os valores das propriedades da corda (descrição da corda), temos:
[pic 51]
3. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE VIBRAÇÃO LIVRE DA CORDA
Através do método de separação de variáveis podemos resolver a equação de vibração livre. Nesse método, a solução é escrita como o produto entre as funções e , as quais dependem somente de e respectivamente.[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
[pic 58]
Substituindo as e na :[pic 59][pic 60][pic 61]
[pic 62]
Como o lado esquerdo da equação depende somente de e o lado direito é dependente apenas de , seu valor comum deve ser uma constante , de modo que:[pic 63][pic 64][pic 65]
[pic 66]
As equações implícitas na equação acima podem ser escritas como:
[pic 67]
Fazendo a constante , reescrevemos as equações:[pic 68]
[pic 69]
As soluções das equações anteriores são da forma:
[pic 70]
Substituindo na equação temos[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
Cada uma das duas raízes encontradas acima estabelecem uma solução particular. A solução geral é a superposição de ambas soluções particulares:
[pic 74]
Aplicando a relação trigonométrica:, temos:[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
Para a equação diferencial que depende de , temos a análise análoga para encontrar a solução:[pic 79]
[pic 80]
Substituindo na equação, temos:
[pic 81]
[pic 82]
Cada uma das duas raízes encontradas acima estabelecem uma solução particular. A solução geral é a superposição de ambas soluções particulares:
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