Fisica energia cinética

do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho mecânico, W, realizado sobre um corpo de massa, M, por uma força é igual a variação da energia cinética do corpo:

W = ΔK

onde, ΔK é a diferença entre a energia cinética final, Kf, e a energia cinética inicial, Ki, do corpo, ΔK = Kf − Ki.

Este teorema também é chamado de Teorema da Energia Cinética (TEC).

1 Demonstração: Caso Particular, Força Constante

Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais belas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleraçao e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, ti, é zero, ti = 0, e que o instantefinal, é tf = t.

Definição de velocidade linear, v:

onde, x = x(t) é a posição do corpo em função do tempo, t.

Partindo da definição de aceleração linear, a,

[pic],

temos que

[pic],

com a = constante. Integrando ambos os lados da equação:

[pic]

[pic]

[pic]

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

[pic]

Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

[pic] :

[pic]

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

[pic]

[pic]

Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

[pic]

[pic]

[pic]

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

[pic]

[pic]

[pic]

Escrevendo o deslocamento xf − xi como Δx = (xf − xi)

[pic]

Introduzindo conceitos da dinâmica.

Até aqui, utilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa, m, do corpo:

[pic]

Pela segunda lei de Newton, [pic], donde

[pic]

Mas, FΔx é o trabalho mecânico, W,

realizado pela força constante, F, sobre a massa m para deslocá-la por Δx:

[pic]

logo,

[pic]

Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,K, como sendo a metade do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

[pic]

temos que

Kf − Ki = W

Fazendo [pic], temos finalmente

W = ΔK

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia. Demonstração: Caso Geral, Força Variável

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força F que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, [pic]. Neste caso, partimos da definição de trabalho,

[pic]

onde, [pic] é o vetor deslocamento. Aplicando a segunda lei de Newton:

[pic]

e a definição de aceleração, [pic],

[pic]

[pic]

cuja solução é

[pic]

Introduzindo a definição de energia cinética,

[pic]

W = ΔK

conforme o teorema.

Transmissão de Movimento Circular Uniforme

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É possível efetuar a transmissão de movimentos circulares entre duas rodas, dois discos ou duas polias através de dois procedimentos básicos: encostando-os (figura 1) ou ligando-os por uma corrente (figura 2). Em ambos os casos, costuma-se usar engrenagens cujos dentes se adaptam entre si, quando em contato, ou se encaixam nos elos da corrente de ligação, para não haver deslizamento ou escorregamento.

[pic]

[pic]

Embora na transmissão por contato haja inversão no sentido domovimento, o que não ocorre na transmissão por corrente (ou correia), em ambas as situações as velocidades lineares dos pontos periféricos das duas rodas são iguais, em cada instante. Assim, considerando os pontos A e B destacados nas figuras 1 e 2, temos:

[pic]

Os raios das rodas, e portanto, dos movimentos descritos pelos pontos A e B são RA e RB respectivamente. Temos então:

[pic]

Logo:

[pic]

Portanto as velocidades angulares das rodas são inversamente proporcionais aos respectivos raios. Essa proporcionalidade inversa em relação aos raios vale também para as freqüências pois:

[pic]

[pic]

[pic]

Energia potencial elástica

Define-se 'energia potencial elástica' a energia potencial de uma corda ou mola que possui elasticidade.

Se considerarmos que uma mola apresenta comportamento ideal, ou seja, que toda energia que ela recebe para se deformar ela realmente armazena, podemos escrever que a energia potencial acumulada nessa mola vale:

[pic]

Nessa equação, "x" representa a deformação (contração ou distensão) sofrida pela mola, e "K" chamada de constante elástica, de certa forma, mede a dificuldade para se conseguir deformá-la. Molas frágeis, que se esticam ou comprimem facilmente, possuem pequena constante elástica. Já molas bastante duras, como as usadas na suspensão de um automóvel, possuem essa constante com valor elevado. Pela equação de energia potencial elástica, podemos notar algo que nossaexperiência diária confirma: quanto maior a deformação que se quer causar em umas mola e quanto maior a dificuldade para se deformá-la (K), maior a quantidade de energia que deve ser fornecida a ela (e conseqüentemente maior a quantidade de energia potencial elástica que essa mola armazenará).

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1 Energia cinética translacional

Retomando-se aos casos associados ao centro de massa - quer macroscópicos que no caso de uma partícula - a energia cinética é calculada no âmbito da física clássica, para o caso translacional, por:

[pic], onde:

m= massa do corpo.

[pic]= velocidade do centro de massa do corpo.

Resolvendo-se o produto escalar, em termos do módulo v da velocidade [pic], esta expressão traduz-se por:

[pic] [Ref. 11] [Ref. 10]

Isto significa que quanto mais rápido um dado objeto se move maior é a quantidade de energia cinética que o mesmo possui. Além disso, quanto mais massivo for o objeto, maior será a quantidade de energia cinética presente quando este estiver se movendo a uma dada velocidade.

Para uma partícula puntual, mesmo microscópica, se a velocidade [pic] em consideração for a velocidade desta em relação à origem do referencial adotado, o que geralmente o é, a expressão acima representa a energia cinética total que esta possui. Entretanto, para corpos extensos (com dimensões), além de transladar este pode girar, e a energia cinética conforme calculada acima constitui-se apenas em uma parcela da sua energiacinética macroscópica total.

Para que algo se mova é necessário transformar qualquer outro tipo de energia em energia cinética. As máquinas mecânicas - automóveis, tornos, bate-estacas ou quaisquer outras máquinas motorizadas - transformam algum tipo de energia, geralmente previamente armazenada na forma de alguma energia potencial, em energia cinética.

Para variar-se a energia cinética total de um objeto necessita-se realizar sobre o mesmo um trabalho. Isto traz à luz o teorema do trabalho - variação da energia cinética, que afirma a igualdade entre os valores do trabalho realizado e a variação da energia cinética apresentada pelo corpo.

Relembrando mais uma vez, vale ressaltar que a energia cinética, assim como a energia potencial, não é absoluta. A energia cinética de um corpo é dependente do referencial adotado para fazer-se a medida da velocidade deste corpo. Isto decorre diretamente da relatividade do movimento [Nota 11]

No âmbito de outras teorias para a dinâmica mais abrangentes, a energia cinética pode ser definida por uma expressão bem diferente da encontrada no escopo da mecânica clássica. A exemplo, a energia cinética de uma partícula com massa de repouso m0 que se move com uma velocidade v é definida, no âmbito da relatividade especial, por:

[pic]

Esta expressão se reduz à apresentada para o caso da mecânica clássica quando a velocidade v do objeto é muito inferior à velocidade da luz c, conforme esperado [Nota12].

O autor é remetido ao estudo das respectivas teorias para maiores detalhes, se necessário.

2 Energia cinética rotacional

[pic]

O Radiômetro de Crookes. Também conhecido como o moinho de luz ou motor solar, consiste de um bulbo de vidro hermeticamente fechado, contendo um vácuo parcial. Dentro há um conjunto de palhetas que são montadas sobre um eixo de forma a poderem girar livremente. A hélice gira quando expostas à luz, em um claro processo de conversão da energia radiante em energia cinética rotacional. A explicação detalhada para o processo que leva à rotação tem sido a causa de muito debate científico, entretanto.

A chamada energia rotacional é simplesmente a energia cinética associada a um corpo material extenso (ou não) que executa um movimento de rotação em torno de um eixo de referência que pode ou não atravessá-lo, sem que este entretanto translade (o eixo é fixo no referencial adotado, e passa pois pelo centro de massa do corpo). É determinada a partir da soma - da integral - da energia cinética que cada pedacinho de massa em que se pode dividi-lo tem devido à rotação, sendo esta integral feita ao longo de todo o corpo. Repare que um pedacinho do corpo, quando próximo ao eixo de rotação, tem energia cinética menor pois move-se também com velocidade tangencial menor se comparado a um pedacinho similar que encontre-se situado longe do eixo de rotação. Em termos de mecânica rotacional, esta integral, ao serrealiza, resulta em:

[pic] [Ref. 11]

onde I representa o momento de inércia [Nota 13] deste corpo em relação ao eixo em questão e ω representa a velocidade angular do corpo em relação ao mesmo eixo.

Ao passo que para variar-se a energia cinética de translação necessitamos de uma força que realize um trabalho, para variar-se a energia de rotação esta força deve também prover um torque, e através dele também realizar trabalho.

3 Energia cinética total

A energia cinética total de um corpo extenso que além de rotacionar também translada, a exemplo uma esfera que rola sobre um plano inclinado sem escorregar, ou mesmo uma roda de bicicleta movendo-se em contato com o solo, é dada pela sua energia cinética de rotação em torno do eixo de rotação mais a energia cinética a ele associada devido à translação deste eixo:

[pic] [Ref. 11]

onde m representa a massa total do corpo, v a velocidade de translação do centro de massa do sistema, ω a velocidade angular do sistema em torno do eixo de rotação - que passa pelo centro de massa do sistema - e I o momento de inércia do corpo em torno do eixo em consideração.

Trabalho

O teorema do trabalho - variação da energia cinética aplica-se à energia total de um corpo.

Em física, trabalho (normalmente representado por W, do inglês work, ou pela letra grega tau) é uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento.

O trabalho de uma força Faplicada ao longo de um caminho C pode ser calculada de forma geral através da seguinte integral de linha:

[pic]

onde:

F é o vector força.

r é o vector deslocamento.

O trabalho é um número real, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força atua no sentido do deslocamento, o trabalho é positivo, isto é, existe energia sendo acrescentada ao corpo ou sistema. O contrário também é verdadeiro, uma força no sentido oposto ao deslocamento retira energia do corpo ou sistema. Qual tipo de energia, se energia cinética ou energia potencial, depende do sistema em consideração.

Como mostra a equação acima, a existência de uma força não é sinônimo de realização de trabalho. Para que tal aconteça, é necessário que haja deslocamento do ponto de aplicação da força e que haja uma componente não nula da força na direcção do deslocamento. É por esta razão que aparece um produto interno entre F e r. Por exemplo, um corpo em movimento circular uniforme (velocidade angular constante) está sujeito a uma força centrípeta. No entanto, esta força não realiza trabalho, visto que é perpendicular à trajectória.

Portanto há duas condições para que uma força realize trabalho:

a) Que haja deslocamento; b) Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento.

Esta definição é válida para qualquer tipo de força independentemente da sua origem. Assim, pode tratar-se de uma força de atrito, gravítica (gravitacional), eléctrica, magnética, etc.

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