O Conceito de derivada é uma lenta e longa evolução histórica iniciada na antiguidade

O conceito de derivada é uma lenta e longa evolução histórica iniciada na antiguidade, nesta época eram utilizados tabelas de quadros e de raízes quadradas e cúbicas, as relações entre as variáveis surgiram de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por gráficos.

Foi no século XVII que Descartes e Pierre introduziram as coordenadas cartesiana e se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente as funções assim a ciência passou a estudar e realizar experiências a procura de determinar na formula ou função.

Fermat foi quem resolveu esta questão. Para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva, considerou a reta PQ secante a curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direção a P obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam de uma reta T a que Fermat chamou a reta tangente a curva no ponto P.

Derivada representa a taxa de variação média e a taxa de variação instantâne.

A taxa de variação média estabelece o custo como função da quantidade produzida ou seja, c=f(q). Uma variação na quantidade produzida determina uma variação correspondente nos custos, assim podemos definir que a taxa de variação depende do custo em relação a variável independente da quantidade.

A taxa de variação média representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente.

A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas ou seja também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medidas envolvidas.

As taxa de variação media aumentam ou seja a produção é crescente e as taxas crescentes.

A taxa de variação instantânea é calculada a partir de taxas de variação media e graficamente também é a representação da taxa de variação média.

A taxa de variação instantânea representa a derivada de uma função no ponto, visualizamos a derivada de uma função em um ponto pela inclinação da reta tangente a curva naquele ponto.

Para a função produção, se tornamos diferentes pontos na curva, teremos diferentes retas tangentes com diferentes inclinações, cada inclinação representa a derivada, tais inclinações taxas de variação instantânea da produção.

Podemos escrever a derivada de uma função simbolizada por f´ = (x), e no caso de função de produção P= f(x).

A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa segundo a qual o valor da função está variando naquele ponto geometricamente a derivada é a inclinação da curva ou coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto.

Para todo o valor de X, existe uma valor correspondente da derivada. A derivada é ela própria uma função de X. F’=(x)= Taxa de variação de f em x.

Segue abaixo algumas derivadas básicas:

Derivada de uma constante:

Derivada de potencia:

Soma / Subtração:

Produto por uma constante:

Derivada do produto:

Derivada da divisão:

Potencia de uma função:

Derivada de uma função composta:

O cálculo da derivada através da sua definição nem sempre é simples, pois envolve o cálculo de um limite. Por este motivo Utilizamos as regras de derivação:

Regras de Derivação:

1. Se f é a função constante definida por f(x) = c, c∈ℜ , então f’(x) = 0.

2. Se f(x) = x, então f’(x) = 1.

3. Se f(x) = x n , onde * n ∈ R , então f ’(x) = n x n - 1 .

4. Se f é diferenciável em x e g(x) = c f(x), então g’(x) = c f ’(x).

5. Se f e g são diferenciáveis em x, então (f ± g)’(x) = f ’(x) ± g’(x).

O conceito derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população,