A integral definida

Definição formal e notação[editar]

Integral definida[editar]

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como2 :

Em linguagem matemática Em Português

S = {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx S é a integral da função {f(x)}, no intervalo entre a e b. {\int} é o sinal da integral, {f(x)} é o integrando e os pontos {a} e {b} são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde {f}: \left [ {a},{b} \right ] \rightarrow \mathbb{R} {f} é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com {a} \le x \le {b} ) e com imagem no conjunto dos números reais

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório3 . Isto porque intuitivamente a integral de {f(x)} pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base \Delta x tendendo a zero e altura {f(x_i^*)}, onde o produto \Delta x {f(x_i^*)} é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:2

Em linguagem matemática Em Português

{\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{i=1}^{n} {f(x_i^*)} \Delta x A integral de {f(x)} no intervalo [a,b] é igual ao limite do somátório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por \Delta x. O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de {f(x)} no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

onde \Delta x = \frac{b-a}{n} comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números x_0 \left ( =a \right ),x_1,...x_n \left ( =b \right ).

onde {f(x_i^*)} Valor ("altura") da função {f(x)} quando x é igual ao ponto amostral x_i^*, definido como um ponto que está no subintervalo \left [ x_{i-1},x_i \right ] (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida[editar]

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida 4 5 :

\int {f(x)}dx = F(x) se e somente se {\frac{dF(x)}{dx}}= {f(x)}, ou, o que é a mesma coisa, \int {f(x)}dx = F(x) \leftrightarrow {F' \left ( x \right )} = {f(x)}

Relação entre integral definida e indefinida[editar]

A integral definida {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se {f} for contínua em [a,b], então 6 .

{\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \int {f(x)} dx |_a^b

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Teorema fundamental do Cálculo[editar]

Ver artigo principal: Teorema fundamental do cálculo

Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:

S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:

b = a + \Delta x

Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:

\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:

\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)

Comparando com a definição