O AUTOVALORES, AUTOVETORES, RAÍZES CARACTERÍSTICAS E DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES

Universidade Federal do Ceará [pic 1]

Faculdade de Economia, Administração, Atuária e Contabilidade

Curso de Ciências Econômicas - Álgebra Linear Aplicada à Economia

Prof. Marcelo Davi Santos

AUTOVALORES, AUTOVETORES, RAÍZES CARACTERÍSTICAS E DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES

Glória Maria da Silva (Matrícula: 414973)

Em uma transformação linear de um espaço vetorial dado que T: V →V, ou seja, dado que o domínio é igual ao contradomínio. Se A é uma matriz de ordem n, real ou complexa, então um vetor não-nulo v em ℜ^n é chamado um autovetor de A se Av é um múltiplo escalar de v, ou seja, Av= λ v para algum escalar λ. Este escalar será chamado de autovalor de A e v é um autovetor associado a λ.

O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular (ou não-invertível). Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz (A- λI) for singular.

Para que a equação apresentada acima (A – λ I) tenha solução é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, det (A – λ I) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em λ, conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.

Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado.

Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação acima, dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.

Raiz característica é cada uma das n raízes resultantes de uma equação característica da matriz A, que com a expansão de Laplace, o determinante /A-rI/ resultará em um polinômio de grau n na variável λ, o que é na verdade uma equação polinomial de n-ésimo grau. Se a matriz A for simétrica, as raízes características sempre resultarão em números reais, que podem ter qualquer sinal algébrico ou ser nulos.

Seja A uma matriz n × n. A é diagonalizável se e somente se existe uma base para R n formada por autovetores de A. Neste caso, ela é semelhante a uma matriz diagonal D cuja diagonal principal é formada pelos autovalores de A, cada um aparecendo tantas vezes quanto for à dimensão do autoespaço associado a ele.

Diagonalização é a técnica usada para encontrar uma matriz diagonal que corresponda a uma matriz diagonalizável ou a uma transformação linear. Em álgebra linear uma matriz quadrada é considerada diagonalizável se possuir uma matriz diagonal que seja semelhante a ela, ou seja, se existir uma matriz invertível P tal que P^-1AP é uma matriz diagonal Se V é um espaço vetorial de dimensão finita, então uma transformação linear T: V → V é chamado diagonalizável se existir uma base ordenada de V com respeito à qual é representada pela matriz diagonal.

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