ATPS Equações Diferenciais

Faculdade Anhanguera de Sumaré

Equações Diferenciais e Séries

Atividades Práticas supervisionadas

Sumaré

2013

Trabalho elaborado por:

Aluno RA

Bruno Cesár Dementino xxxxxxxx

Profº: xxxxxx

Introdução

No circuito RC conforme figura 1, a relação entre as tensões da fonte v1, do resistor vR e do capacitor vC é dada pela lei das tensões de Kirchhoff.

v_1 (t)= v_r (t) + v_c (t)

Das relações básicas da eletricidade:

v_R (t) = R i(t)

V_C (t)=1/C q(t)=1/C ∫_0^t▒i(τ)dτ

Substituindo em,

v1(t) = R i(t) + v_c (t)

Aplicando a Transformada de Laplace,

V_1 (s) = R I(s) + V_c (s)

Aplicando a Transformada de Laplace em,

V_C (s)=1/Cs I(s)

Combinando, com a eliminação de I(s), obtém-se a relação entre as tensões do capacitor e da fonte:

(V_C (s))/(V_1 (s))=1/(RCs+1)=(1/RC)/(1/RC+s)

O circuito da figura 1 é o mesmo da figura 2, com a inclusão de uma fonte no circuito. Considerando a tensão da bateria unitária, pode-se dizer que a tensão v1(t) é a função degrau unitário u(t).

Portanto,

V_1 (s)=1/s

Substituindo em

V_C (s)=1/s (1/RC)/(1/RC+s)

Usando o método das frações parciais,

V_C (s)=k_1/s+k_2/(1/RC+s)

Calculando os coeficientes,

V_C (s)=1/s+(-1)/(1/RC+s)

Determinando a transformada inversa,

V_C (t)=1-e^((-t)/RC)

Considera-se agora, conforme figura 4, um elemento genérico de circuito, pelo qual circula uma corrente i(t), que produz uma diferença de potencial v(t) entre seus terminais.

Figura 4: Transformada de uma Impedância. (DORF, 2001)

A parte (b) da figura é a aplicação da Transformada de Laplace para as variáveis anteriores. A impedância desse elemento é definida como:

Z(s)=(V(s))/(I(s))

Para um resistor de resistência R, segundo a lei de Ohm, v(t) = R i(t). Portanto, V(s) = R I(s)

e a impedância é:

Z_R (s)=R

Para um capacitor de capacitância C, segundo a relação anterior,

Z_C (s)=1/Cs

Para um indutor de indutância L, segundo relação do eletromagnetismo, conforme figura 5:

v(t) = L di(t)/dt.

Portanto,

V(s) = Ls I(s)

e a impedância é:

ZL(s) = Ls

Associações de impedâncias comportam-se como associações de resistências.

No exemplo da figura 5, a impedância entre os pontos a e b é dada por:

Z_ab=Z_L+1/(1/Z_R +1/Z_C )

Substituindo,

Z_ab=Ls+1/(1/R+Cs)=(RLCs^2+Ls+R)/((RCs+1))

No exemplo com amplificador operacional da figura 6, o circuito funciona como integrador para o Amplificador operacional:

V_0 (t)=-1/RC ∫▒〖V_i dt〗

Figura 6: Amplificador Operacional Integrador

Aplicando a Transformada de Laplace,

V_0 (s)=-1/RC 1/s V_i (s)

Para uma equação diferencial do tipo:

y''(t) + y(t) = cos t

As condições iniciais são: y'(0) = y(0) = 0

Da transformada de derivadas, conforme as condições iniciais informadas:

L{ y''(t) } = s^2 L{ y(t) } - s y(0) - y'(0) = s^2 L{ y(t) }

Aplicando a transformada em ambos os lados e substituindo,

s^2 L{ y(t) } + L{ y(t) } = (s^2 + 1) L{ y(t) } = L{ cos t }

Portanto,

Y(s)=L{y(t) }=1/(s^2+1) L{cos⁡〖(t)〗 }=L{sin⁡〖(t)〗 }L{cos⁡〖(t)〗}

Através destes exemplos demonstram-se algumas das regras para o cálculo da Transformada de Laplace diretas e de frações parciais aplicadas às funções de vários tipos de ordem n, integrais e diferenciais.

1.3 Função de Transferência

A aplicação das leis físicas aos sistemas dinâmicos forma um sistema de equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema. Na figura 7, observam-se dois blocos em a) domínio do tempo e b) domínio complexo. A definição de Função de Transferência