Matematica Aplicada

A História do Logaritmo

Os logaritmos foram inventados por John Napier (1550-1617), e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630 de modo a simplificar os processos de multiplicação e divisão. A função logaritmo é essencial no calculo infinitesimal, portanto ela terá muita utilidade no calculo de grandezas que crescem muito rápido. São uteis para resolver equações cujos expoentes são desconhecidos e possuem derivadas simples. Além disso, é possível transformar operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre tantas outras.

Resolvendo Situações

Sabendo que a função logarítmica, juntamente com sua função inversa – função exponencial – permanece como uma das mais importantes na matemática, por uma série de razões que vão muito além de sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético:

1 – (UERJ) Nas t primeiras horas diminuem sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior; Nas 8 – t horas restantes diminuem 10% em relação ao número de frutas da hora anterior. Calcular:

a. O percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t=2;

b. O valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log2 = 0,30 e log3 = 0,48

Q= Quantidade inicial t= tempo k= primeiras horas

. = multiplicação ^= expoente

Respostas

A) Na primeira hora: Q - 0,20Q = Q.(1-0,2)

Na segunda hora: Q.(1-0,2) – Q.(1-0,2) = Q.(1-0,2)²

Nas primeiras horas: F(k) = Q.(1-0,2)^k = Q.0,8^k

Para k=2 horas:

F(k) = Q.0,8² = 0,64Q

Como a quantidade inicial era Q logo depois de 2 horas resta 0,64 de Q ou 64% da quantidade inicial.

B) t= ?(diminui 10%) log2= 0,30 log3= 0,48

Q= 32% (0,32) F(k)= Q.0,8^k

F(t)= [Q.0,8^k] . (1-0,1)^(t-k)

F(t)= Q.0,8^k . 0,9^(t-k)

para t= 8 e F(t)= 0,32Q, teremos

0,32Q= Q.0,8^k . 0,9^(t-k)

0,32 = 0,8^k . 0,9^(t-k)

Colocando em logaritmos teremos,

Log(0,8) + (8-k) . log(0,9) = log(0,32)

0,8 = 8/10 = 2³/10, ou seja, log0,8 = 3.log2 – log10 = 3.0,30 – 1 = -0,10

0,9 = 9/10 = 3²/10, ou seja, log0,9 = 2.log3 – log10 = 2.0,48 – 1 = -0,04

0,32 = 32/100 = 25/100, ou seja, log0,32 = 5.log2 – log10 = 5. 0,30 – 2 = -0,50

Portanto,

- 0,10k – (8-k) . 0,04 = - 0,50

- 0,10k – 0,32 + 0,04k = - 0,50

- 0,06k = - 0,18, ou seja, k = -0,18/-0,06

k