Calculo diferencial II

EXERCITANDO (Aula 2 – Tóp. 1)

1. Calcule os limites indicados:

        (a) [pic 1]  onde  [pic 2]

        (b) [pic 3]  onde  [pic 4]

        (c)   onde  [pic 5]

2. Verifique se a função dada é contínua no valor indicado:

        (a) [pic 6]        (b) [pic 7]

        (c) [pic 8]        (d) [pic 9]

3. Seja   C   a curva dada pela função  [pic 10]  e   [pic 11]   o ponto em que  [pic 12]

        (a) Calcule o vetor tangente a  C  em  [pic 13];

        (b) Verifique que  [pic 14]  é constante e encontre o vetor normal a  C  em  [pic 15];

        (c) Represente geometricamente  C  e os vetores tangente e normal a  C  em  [pic 16]

4. Suponha que a trajetória de uma partícula é a curva  definida  pela  função  [pic 17] onde  a  e  b  são constantes:

        (a) Use o exemplo resolvido  2  deste tópico para mostrar que a velocidade da partícula é ortogonal a sua aceleração em cada ponto da trajetória;

        (b) Devido a segunda lei de Newton, se  F  é a força que age numa partícula de massa  m, então    onde  a  é a aceleração da partícula. Use a segunda lei de Newton para mostrar que a força resultante que age na partícula tem intensidade constante (isto é, o vetor força tem o mesmo módulo em cada instante).

  5. As equações paramétricas de uma curva são    e  [pic 18] determine um vetor unitário e tangente à curva no ponto  

  6. Sejam  as  curvas  definidas  pelas  funções      e   mostre que a equação do plano tangente a estas curvas no seu ponto de interseção é  [pic 19]

  7. Encontre a função vetorial  f  tal que  [pic 20]  e o vetor tangente à curva definida por  f  em qualquer ponto é  [pic 21]

  8. Determine a função vetorial  f  tal que  [pic 22]  e o vetor tangente à curva definida por  f  em qualquer ponto  [pic 23]  é  [pic 24]

  9. Encontre uma função vetorial  f  tal que    seja tangente à família de circunferências    e  [pic 25]  em cada ponto  

10. Ache a função vetorial  f  tal que  [pic 26]  seja normal à curva definida por  f  em todo ponto da curva.

11. Mostre que  [pic 27]  existe se, e somente se, o limite de cada uma das funções coordenadas de  f  existem quando  t  tende a  [pic 28]

12. Mostre que uma função vetorial é contínua num valor se, e somente se, cada uma de suas funções coordenadas é contínua nesse valor.

13. Mostre que, se  f  e  g  são funções vetoriais contínuas num valor, então     e    são contínuas nesse valor.

14. Mostre, com um exemplo, que o teorema do valor médio de Lagrange, enunciado no primeiro curso de Cálculo,  não vale para funções vetoriais de uma variável.

15. Sendo  [pic 29]  duas vezes derivável, prove que  [pic 30]

16. Se [pic 31]  é três vezes derivável, mostre que [pic 32]

17. Prove que a curva definida por uma função  [pic 33]  é uma reta se, e somente se, a derivada segunda de  f  é o vetor nulo em todo ponto.

18. Sejam  f  e  g  funções vetoriais da variável  u, tais que  [pic 34]  sejam contínuas para todo valor de  u. Suponha ainda que  [pic 35]  para todo número irracional  r  e  [pic 36] mostre que    define uma reta. Sugestão: mostre inicialmente que  [pic 37]  para todo número real  u.

19. Se uma partícula descreve um movimento circular em torno de um eixo, então além da velocidade e aceleração linear, ela tem uma velocidade angular  dada por  [pic 38], onde  [pic 39]  define a rotação da partícula e  u  é um vetor unitário paralelo ao eixo, e uma aceleração angular  dada por  [pic 40] Suponha que uma partícula ao se movimentar em torno de um eixo, descreve uma circunferência num plano perpendicular ao eixo, mostre que:

        (a) [pic 41]  num ponto  P  qualquer da trajetória da partícula, onde  [pic 42] Sugestão: considere o eixo Z, assim  [pic 43] onde  [pic 44]  e  b  são constantes, define a circunferência;

         (b) [pic 45]        (c) [pic 46]

20. Se uma partícula de massa  m  e carga elétrica  q, move-se num campo magnético uniforme  B, descrevendo uma curva plana, com velocidade linear  v  e numa direção perpendicular a  B, então é possível mostrar que a trajetória da partícula é uma circunferência de raio  [pic 47]  (veja o exemplo resolvido  2  da  Extensão das Fórmulas de Frenet-Serret no texto complementar indicado no final do tópico 3 desta aula). Mostre que a velocidade angular da partícula é  [pic 48] onde  u  é o vetor unitário no sentido de  B, assim a velocidade angular independe da velocidade linear e é paralela ao vetor  B.