TEOREMA DE PÍTAGORAS

RENATO MELLO

1Introdução

Neste trabalho, será apresentada uma forma de provar o Teorema de Pitágoras, utilizando-se figuras semelhantes (triângulos).

O mesmo será abordado de forma objetiva e mais clara possível, sendo necessário um conhecimento prévio, de resolução de problemas com figuras semelhantes, além de uma breve passagem em trigonometria.

2Desenvolvimento

Observando a figura 1 e focando na célebre fórmula do Teorema de Pitágoras representada por: a² + b ² = h², que em palavras:

“A soma dos quadrados dos catetos (a, b) é igual à hipotenusa (h) elevada ao quadrado”.

Figura 1:

OBS. 1: Recordando da trigonometria que a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre resulta em 180, segue que:

α + β +90°=180° α + β = 180° - 90° α + β = 90°, portanto:

β = 90°- α

α = 90°- β

Traçando uma linha vertical do ponto L ao ponto J, que nada mais é que definir a altura do triângulo retângulo teremos agora, dois triângulos retângulos. Como pode ser visualizado na figura 2:

Figura 2:

OBS. 2:

θ = α

a) θ + β + 90° = 180° θ = 180° - 90°- β θ = 90°- β, portanto de acordo com obs.1:

b) ϕ + α + 90° = 180° ϕ = 180° - 90°- α ϕ = 90°- α, portanto de acordo com obs.1:

ϕ = β

Ressaltando que, da figura 2, a hipotenusa h agora é dado pela soma de m com n, portanto, segue:

m + n = h

Agora, nas figuras 1 e 2, temos três triângulos semelhantes, fazendo as devidas rotações, segue a figura 3:

Figura 3:

(Segue respectivamente os triângulos 1, 2 e 3)

*OBS. 3: Para conferir as rotações dos triângulos (1 e 2), atente para cada cateto entre seus vértices das figuras 1 e 2; exemplo do triângulo 1, entre as figuras 1 e 3:

-Entre os vértices J e K há o cateto b;

-Entre os vértices J e I há o cateto a;

-Entre os vértices I e K há a hipotenusa h.

Lembrando o que foi ressaltado anteriormente em que m + n = h, temos que, através das relações dos triângulos semelhantes, achar os valores de m e n em função de a, b ou h, para chegarmos então na fórmula do Teorema de Pitágoras, vejamos:

Da figura 3, entre os triângulo 2 e 3 temos:

m

e

n =

Para eliminarmos c em função das incógnitas a, b e h, segue dos triângulos 1 e 3 que:

c =

Portanto, m e n serão respectivamente:

m =

m