A Algebra Linear
Por: Dhiogosilva • 22/10/2020 • Trabalho acadêmico • 1.133 Palavras (5 Páginas) • 317 Visualizações
3ª Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares.
a) f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)
Sol.
a)
Para verificar quais dessas funções são transformações lineares devemos usar a definição de transformação linear e verificar se elas satisfazem as duas condições.
Definição:
Sejam V e W dois espaços vetoriais, uma transformação linear é uma função de V em W, (F: V → W), que satisfaz as seguintes condições:
i) Quaisquer que sejam u, v ∈ V,
F (u + v) = F(u) + F (v)
ii) Quaisquer que sejam k ∈ ℝ e v ∈ V,
F (kv) = kF(v)”.
Verificando a primeira condição para
f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y)
Sejam: u = (x1 , y1) e v = (x2 , y2) ∈ ℝ²
u + v = (x1 , y1) + (x2 , y2)
= (x1 + x2 , y1 + y2)
f (u) = f (x1 , y1) = (x1 + y1 , x1 - y1)
f (v) = f (x2 , y2) = (x2 + y2 , x2 – y2)
f ( u + v) = f (x1 + x2 , y1 + y2) = [(x1 + x2) + (y1 + y2) , (x1 + x2) - (y1 + y2)]
= (x1 + x2 + y1 + y2 , x1 + x2 - y1 - y2)
= (x1 + y1 + x2 + y2 , x1 – y1 + x2 - y2)
= [(x1 + y1) +( x2 + y2) ,( x1 – y1) +( x2 - y2)]
= (x1 + y1 , x1 - y1) + (x2 + y2 , x2 – y2)
f (u +v ) = f (u) + f (v)
A primeira condição foi satisfeita f (u +v ) = f (u) + f (v)
Verificando a segunda condição…
Sejam k ∈ ℝ e u = (x1 , y1) ∈ ℝ²
k(x1 , y1) = (kx1 , ky1)
f (ku) = f (kx1 , ky1) = (kx1 +k y1 , kx1 - ky1)
= k(x1 + y1 , x1 - y1)
=k f (kx1 , ky1)
f (ku) = k f (u)
A segunda condição também foi satisfeita, então podemos afirmar que a função dada
f : ℝ² → ℝ² ; (x , y) ↦ (x + y , x – y) é uma aplicação linear (transformação linear)
b) g : ℝ² → ℝ ; (x , y) ↦ xy
Utilizando um procedimento análogo, vamos pegar dois vetores do domínio e verificar se as condições (i) e (ii) são satisfeitas.
...