Atps De Calculo 2, Etapa 1 E 2

Derivada

A derivada pode ser interpretada, geometricamente, como o coeficiente angular da reta tangente à curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. Derivadas podem ser usadas para representar desde flutuações em taxas de juros, até de variação da população de peixes e do movimento das moléculas de gás, elas tem aplicação em todo o campo das ciências.

Passo 1

Taxa de variação média:

A taxa de variação média é a variação absoluta ( diferença dos valores de f nas extremidades do intervalo ) dividida pelo tamanho do intervalo. A taxa dessa variação nos diz o quão depressa ou devagar a função muda, de uma extremidade até a outra de um intervalo.

Exemplo:

A taxa média de variação da função f dada por f(x) = x2 quando x varia de x0 = 2 a x1 = 3?

(f(3 )-f (2 ))/(3-2)=(3²-2²)/1=5

Taxa de variação instantânea:

Consideramos a taxa média de variação em intervalos cada vez menores, fazendo x1 tender a x0, e Δx tender a 0. O limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa ( instantânea ) de variação de y, em relação à x em x0 para x = x0, que é interpretada como inclinação da tangente à curva y = f(x).

Exemplo:

Achar a taxa de variação instantânea de y em relação à x no ponto x = - 4.

Taxa de variação instantânea ( inclinação tangente ). Seja f ( x ) = x² + 1e x0 = -4. Então:

lim⁡ (f (x1)-f(x0)=)/(x1-x0)lim– 4 ((x1^2+1)-f(( -4 )^2+1 ))/(x1-( -4 ) ) = lim – 4 ((x1^2+1 )-17= )/(x1+4)lim - -4 (x1²-16)/(x1+4) , substituindo – 4 em x1 = ((-4)^2-16)/(-4+4) = (16-16)/(-4+4) = 0/0 , fatorando x1² - 16 = (x1 – x4 ) (x1 + x4 ) = lim((x1-x4)(x1+x4))/(x1+x4) , simplificando – lim ( x1 – 4) = -4 -4 = -8.

Como a taxa de variação instantânea é negativa, y é decrescente no ponto x = -4 a uma taxa de 8 unidades por unidade de acrécimo em x.

Passo 2

Derivada de uma função constante: Se k é uma constante e f(x) = k, para todo x entãof´(x)= 0.

Exemplo: Seja f (x)= 5 logo f´(x) = 0. Se aplicarmos a definição:

Função potência: Se n é um nº inteiro positivo e f(X)= x^n, então: f´(x) = 〖n.x〗^(n-1)

Exemplo: Seja f(x) = x^(5 )logo f´(x) = 〖5x〗^4.

Passo 3

Exemplos para a interpretação pratica da derivada:

Exemplo 1: Um tanque tem a forma de cone invertido com 16m de altura e uma base com quatro metros de raio. A água flui no tanque a uma taxa de 2 m³/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m?

Solução: Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone.

⇒ V (t) = 1/3π r² h

V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3/min, (dV (t))/dt = 2 m³/min. Queremos determinar dh/dt quando h = 5m. Para expressar em termos de h, temos dois triângulos semelhantes, r/h=4/16⇒ r= 1/4 hLogo V(t) = 1/3π (h¦4)² h⇒ V (t)= 1/48π h³ então dV/dt = 1/16π h² dh/dt substituindo (dV (t))/dt = 2 e resolvendo: dh/dt= 32/(π h²) logo, ├ dh/dt] h = 5 32/25π Assim sendo, o nível de água esta subindo a uma taxa de 32/25π m/min⁡〖quando a profundidade da agua é de 5m.〗

Exemplo 2: O custo para extrair T toneladas de cobre bruto de uma mina é C = f(t) dólares. O que significa dizer que f (2000) = 100?

Solução: Na notação alternativa.

F´(2000) = ├ dC/dt]T = 2000 = 100.

Como C é medido em dólares por tonelada. Logo a afirmação de que f´( 2000 ) = 100 nos diz que, depois de se extrair 2000 mil toneladas de cobre bruto da mina, o custo de se extrair a tonelada de cobre é de, aproximadamente $ 100.

Passo 4

Quando derivamos uma função f(x), obtemos uma função f '(x) que é a fórmula para o declive da curva y = f(x). Se derivarmos a função f '(x) obtemos a segunda derivada de f(x) que denotamos por f ''(x), ou seja,

(df´ (x))/dx = f´´(x)

Também um arco de uma curva é côncavo para cima se, em todos os pontos, o arco fica acima da tangente. Quando x aumenta ou y' não varia de sinal e é crescente (como no intervalo b < x <c), ou troca de sinal, passando de negativo para positivo (como nos intervalos c < x <e e g < x < i). Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é crescente e y" é positiva. Um arco de uma curva é côncavo para baixo se, em todos os pontos, o arco fica abaixo da tangente. Quando x aumenta, ou y' não varia de sinal e é decrescente (como no intervalo a < x <b), ou troca de sinal, passando de positivo para negativo (como no intervalo e < x <g). Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é decrescente e y" é negativa.

Etapa 2

Passo 1

Derivada da soma e da diferença: Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f´(x) e g´(x) existem, então h´(x) = f´(x) + g´(x).

Exemplo:

Seja f(x) = 3x^4 + 8x + 5. Então

F´(x) = 3 (4x³) + 8 . 1 + 0 = 12x³ + 8

Seja g (y)= 9y^5 – 4y² + 2y + 7. Então ,

G´(y) = 9 . (5y^4) – 4 . (2y) + 2 . 1 + 0 = 45y^4 – 8y + 2

Derivada dos polinômios: Função polinomial é uma função que pode ser expressa da forma P(x) = a_n x^n + a_n – 1x^(n-1) ++... + a1x¹ + a0x^0 = ∑_(i=0)^n▒a_(ix^i